후플 Math

검은 구슬 3개, 빨간 구슬 4개, 흰 구슬 5개가 들어있는 상자에서, 구슬을 한 개씩 꺼내어 순서대로 일렬로 나열하자. 단, 상자에서 각각의 구슬을 고를 확률은 같다. (i) 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않을 확률 $p$를 구하시오. (ii) 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않을 때, 어떤 검은 구슬도 이웃하지 않을 조건부 확률 $q$를 구하시오. 생각해보기 (i)의 유형은 교과서에서도 매우 자주 나오는 친숙한 유형이다. 하지만 (ii)처럼 두 종류가 모두 이웃하지 않는 경우는 흔치않다. 복잡한 경우의 수 문제의 경우 케이스를 잘게 쪼갤 수록 각각의 계산은 수월해지는 경우가 많다. 생각하길 두려워하지 말고, 먼저 2종류의 구슬을 나열해놓고 남은 한 종류의 구슬을 끼워넣는 방법을 생각해보자! 풀이 (i) 먼저 ..

정팔각형의 꼭짓점을 반시계 방향으로 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$라 하자. 또, 앞뒤가 나올 확률이 같은 동전이 하나 있다. 점 $P$가 최초에 점 $A$에 위치하고 있고, 다음의 시행을 10회 반복한다. 시행 : 동전을 던져 앞면이 나오면 점 $P$를 반시계방향으로 한 칸 움직이고, 뒷면이 나오면 시계방향으로 한 칸 움직인다. 이때, 다음의 두 사건을 생각하자. 사건 $S$ : 10번의 시행 후에 점 $P$가 점 $A$에 위치한다. 사건 $T$ : 10번의 시행을 하는 동안에 점 $P$가 적어도 한 번 점 $F$에 위치한다. (1) 사건 $S$가 일어날 확률을 구하시오. (2) 사건 $S$와 사건 $T$가 둘 다 일어날 확률을 구하시오. 생각해보기 (1)은 사건 ..

가로 4칸, 세로 4칸의 4 $\times$ 4의 보드판을 1, 2, 3, 4의 네 숫자들로 채우자. 이 보드판의 가로를 '행', 세로를 '열'이라고 할 때, 모든 행 또는 열에 1, 2, 3, 4 가 정확히 한 번씩 들어가도록 하는 방법의 경우의 수를 구하시오. 생각해보기 개인적으로 아주 반가운 문제이다. 스도쿠를 좋아하는 필자 입장에서 이 문제는 4$\times 4$ 스도쿠의 가짓수를 묻는 것과 비슷해서인데... (물론 주어진 상황만 비슷할 뿐 실제 스도쿠의 가짓수랑은 차이가 크다.) 기쁜 마음은 제쳐두고, 이 문제는 숫자들이 한 번 씩만 들어간다는 조건을 사용하면 마치 수형도를 이용하는 풀이와 비슷하게 풀 수 있다. 풀이 보드판의 1행에 가 쓰여져 있다고 가정해보자. 이때, 와 같은 열에 같은 숫자..

1) 공간상의 세 점 $A(1,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,2)$을 지나는 평면 $\alpha$에 대해 점 $P(1,1,1)$와 대칭인 점 $Q$의 좌표를 구하여라. 2) 빨간색, 흰색, 파란색, 노란색의 구슬이 1개씩 들어있는 상자가 있다. 하나를 뽑아서 기록한 뒤 다시 상자에 넣는다. $n$번째에 최초로 빨간색 구슬이 나왔고, 그 때 나머지 색은 모두 기록되어 있을 확률을 구하여라. 생각해보기) 1), 2) 모두 교과서에 나옴직한 문제로 보인다. 어려운 문제를 해결하는 능력도 가지면 좋지만, 무엇보다도 기본문제들을 망설임없이 풀어내는 능력이 우선 되어야 한다고 생각한다. 풀이) 1) 먼저 구하고자 하는 점 $Q$의 좌표를 $(p,q,r)$이라 하자. 문제의 가정으로 부터 $\overrig..

좌표평면 위에 8개의 직선 $$x = a \quad ( a = 1, 2, 3, 4),$$ $$y = b \quad ( b = 1, 2, 3, 4)$$ 과 16개의 점 $$(a,b) \quad (a=1, 2, 3, 4, b=1, 2, 3, 4)$$ 이 있다. 이 중에서 각 조건을 만족하는 서로 다른 5개의 점을 고르는 방법을 구하시오. (1) 8개의 직선 중에서 선택된 점을 하나도 가지지 않는 직선이 딱 2개 존재한다. (2) 8개의 직선 모두 적어도 하나의 선택된 점을 포함한다. 생각해보기) 개인적으로 경우의 수 문제는 수학이라기 보다 퍼즐에 가깝다고 보는데, 어떻게든 공식을 쓰려고 혈안이 되지말고 꼼꼼히 잘 세는 것에만 충실하면 된다고 생각한다. 당연히 어려운 문제일수록 한 방에 세어서 답을 구하는 문..

5 이상의 자연수 N이 있다. 1 부터 2N 까지의 자연수 중 1을 포함하여 서로 다른 N개의 수를 골라 집합 S를 만들자. 각 조건을 만족하는 집합 S의 경우의 수를 구하여라. 1) S는 연속하는 2개의 자연수 쌍을 갖지 않는다. 2) S는 연속하는 N-2 개의 자연수 쌍을 적어도 하나 포함한다. 생각해보기) 경우의 수 문제이지만 전체 개수가 미지수인 경우이다. 처음부터 일반적인 case를 생각하기가 쉽지 않으므로, 작은 N에 대한 special case를 먼저 생각해보자. 가장 작은 N=5 인 경우를 생각해보면, OXOOOXOX OXOXOOOX OOOXOXOX OOOXOOX OOXOOOX 위와 같이 5가지 case 를 생각할 수 있고, 각 case마다 X를 적절하게 넣는 경우의 수만 생각하면 되는 것..