후플 Math

(i) 양의 정수 $k$에 대해, $A_k$를 다음 정적분의 값으로 정의하자. $$A_k =\int^{\sqrt{(k+1)\pi}}_{\sqrt{k\pi}}|\sin(x^2)|dx$$ 이때, 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $$\cfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leq A_k \leq \cfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$$ (ii) 양의 정수 $n$에 대해, $B_n$을 다음 정적분의 값으로 정의하자. $$B_n=\cfrac{1}{\sqrt n}\int^{\sqrt{2n\pi}}_{\sqrt{n\pi}}|\sin(x^2)|dx$$ 이때, $\lim\limits_{n \to \infty}B_n$을 구하시오. 생각해보기 (i)은 먼저 적절한 치환적분을 통해 주어진 정적분의 형태를 바꿔야..

아래의 각 문제에 답하시오. (1) $x$에 대한 방정식 $$x^{2n-1} =\cos x$$ 는 단 하나의 실근 $a_n$을 가짐을 보이시오. (단, $n$은 1 이상의 정수) (2) (1)의 $a_n$에 대해 $\cos a_n > \cos 1$임을 보이시오. (3) (1)에서 구한 수열 $\left\{ a_n \right\}$에 대해, $$\begin{align} &a= \lim_{n->\infty} a_n \\&b=\lim_{n->\infty}a_n ^n \\&c=\lim_{n->\infty}\cfrac{a_n ^n -b}{a_n -a}\end{align}$$ 생각해보기 (1), (2) 의 경우에는 두 함수의 그래프를 그려서 비교해도 쉽게 알 수 있습니다. (3)의 경우에 부정형의 극한인 $c$를..

자연수 $n$과 $t \geq 1$인 실수 $t$에 대해 다음 물음에 답하시오. 1) $x \geq t$ 일 때 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $$-\cfrac{(x-t)^2}{2} \leq \log x - \log t - \cfrac{1}{t}(x-t) \leq 0$$ 2) 다음 부등식이 성립함을 보여라. $$- \cfrac{1}{6n^3} \leq \int_{t}^{t+ \frac{1}{n}}\log x dx - \cfrac{1}{n}\log t - \cfrac{1}{2tn^2}\leq 0$$ 3) $$a_n= \sum_{k=0}^{n-1}\log \left( 1+\cfrac{k}{n}\right)$$ 일 때, $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(a_n -pn)=q$..