후플 Math

다음 물음에 답하시오. 필요하다면 $0.3$\text{(1)}5^n>10^{19}$이 성립하는 자연수$n$의 최솟값을 구하시오.$\text{(2)}5^m+4^m>10^{19}$이 성립하는 자연수$m$의 최솟값을 구하시오. 생각해보기$\text{(1)}$은 상용로그 단원의 교과서 예제 정도의 문제이다. 문제는$\text{(2)}$인데, 어짜피$4^m$은$5^m$에 비해 아주 작아서 보잘 것 없다(?)라고 생각하고 접근해보자! 풀이$\text{(1)} $$$\begin{align}&5^n>10^{19}\\ \iff&\log5^n>\log10^{19}\\ \iff&n(1-\log2)>19\\ \iff&n>\cfrac{19}{1-\log2}\end{align}$$ 이..

좌표평면 위의 포물선 $C : ax^2+bx+c$가 점 $P(\cos\theta,\sin\theta), Q(-\cos\theta,\sin\theta)$를 지나고, 점 $P, Q$에서 각각 원 $x^2+y^2=1$과 공통접선을 가진다. 단, $0^\circ$\text{(1)}a,b,c$를$s=\sin\theta$를 이용해 나타내시오.$\text{(2)}$포물선$C$와$x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이$A$를$s$를 이용해 나타내시오.$\text{(3)}A \geq \sqrt3$임을 보이시오. 생각해보기 1번 문제답게 어렵지 않은 문제이다.$\text{(1)}$에서는 공통접선이므로 미분을,$\text{(2)}$에서는 둘러싸인 넓이를 물었으니 정적분을 이용하면 충분하다. ..

좌표공간에서 부등식 $|x| \leq 1$, $|y| \leq 1$, $|z| \leq 1$을 만족하는 도형을 생각하자. 그 도형의 겉면 중 $z$(1)$좌표공간 위의 점$P$가 두 조건$\text{(i), (ii)}$를 만족시킬 때,$P$의 자취$V$의 부피를 구하시오.$\text{(i)}\overline{OP} \leq \sqrt3\text{(ii)}$선분$OP$와$S$는 공유점을 갖지 않거나 점$P$만을 공유점으로 가진다.$(2)$좌표공간 위의 두 점$N$,$P$가 다음의 조건$\text{(iii), (iv), (v)}$를 만족시킬 때,$P$의 자취$W$의 부피를 구하시오. 필요하다면$\sin\alpha=\cfrac{1}{\sqrt{3}}$..

다항식 $f(x)=(x-1)^2(x-2)$에 대한 다음 물음에 답하시오.$(1)$ 실수 계수의 다항식 $g(x)$를 $f(x)$로 나눈 나머지를 $r(x)$라 하자. 이때, $g(x)^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지와 $r(x)^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지가 같음을 보이시오.$(2)$ 실수 $a,b$에 대해 $h(x)=x^2+ax+b$라 하자. $h(x)^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지를 $h_1(x)$, $h_1(x)^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지를 $h_2(x)$라 할 때, $h_2(x)$가 $h(x)$가 되도록 하는 순서쌍 $(a,b)$를 모두 구하시오.       생각해보기 $(2)$는 $(1)$을 활용하는 문제이다. 다항식의 차수에 겁먹을 수도 있지만, 어떤 다항식 $f(x)$가 $..

좌표공간에 네 점 $O(0,0,0), A(2,0,0), B(1,1,1), C(1,2,3)$가 있다.$(1)$  $\overrightarrow{OP}\perp \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP}\perp \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OC}=1$을 만족하는 점 $P$의 좌표를 구하시오.$(2)$ 점 $P$에서 직선 $AB$에 수선을 내리고, 그 수선의 발을 $H$라 하자. $\overrightarrow{OH}$를 $\overrightarrow{OA}$와 $\overrightarrow{OB}$를 이용해서 나타내시오.$(3)$ 점 $Q$를 $\overrightarrow{OQ}= \cfrac..