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복소수 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$와 실수 $a, b$가 다음의 세 조건을 만족하면서 움직인다. 조건 1 : $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$는 서로 다르다. 조건 2 : $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$는 4차 방정식 $z^4-2z^3-2az+b=0$의 근이다. 조건 3 : $\alpha \beta + \gamma \delta$의 실수부는 0이고, 허수부는 0이 아니다. (1) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ 중 2개는 실수이고, 나머지 2개는 서로 켤레복소수임을 보이시오. (2) $b$를 $a$로 나타내시오. (3) $\alpha +\beta$가 취할 수 있는..

세 변의 길이의 합이 2인 삼각형 $ABC$에 대해 변 $BC$의 길이를 $a$, 변 $CA$의 길이를 $b$라 하자. 삼각형 $ABC$를 변 $BC$를 축으로하여 1회전 시킨 입체의 부피를 $V$라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (1) $a$를 고정하고 $b$를 변화시킬 때, $V$가 최대가 되는 순간은 삼각형 $ABC$가 밑변을 $BC$로 하는 이등변삼각형일 때임을 보이시오. (2) $a$, $b$를 동시에 변화시킬 때, $V$의 최댓값과 그 때의 $a$, $b$를 각각 구하시오. 생각해보기 삼각형이 나오는 기본 기하 문제에서는 반드시 삼각형의 결정조건을 짚고 넘어가야 한다. 삼각형의 세 변의 길이를 $a$, $b$, $c$라 할 때, 삼각형의 결정조건은 $$a

$-1 \leq t \leq 1$ 인 실수 $t$에 대하여,$$x(t) =(1+t)\sqrt{1+t}$$ $$y(t)=3(1+t)\sqrt{1-t}$$라 하고 좌표평면 위의 점 $P(x(t),y(t))$를 생각하자. 1) $-1

좌표평면 위에 두 점 $B(-\sqrt3, -1), C(\sqrt3,-1)$와 $y$좌표가 양수고 $\angle BAC= \cfrac{\pi}{3}$를 만족하는 점 $A$가 있다. 1) $\triangle ABC$의 외심의 좌표를 구하여라. 2) 점 $A$가 조건을 만족하면서 움직일 때, 수심의 자취의 방정식을 구하여라. 생각해보기) 1) 두 점 $B,C$가 $y$축에 대해 대칭이기 때문에 외심의 정의로 부터 외심이 $y$축 위에 있음을 알 수 있다. 2) 구하고자 하는 자취인 수심의 좌표를 $(X,Y)$로 두고 $X,Y$에 대한 관계식을 찾는 전형적인 문제이다. 또는 중학교 수준의 도형지식만으로도 해결할 수 있으니 관심있으시면 해보시길 바란다. (지름에 대한 원주각이 만들어 내는 직각과 수선이 만들어 ..

생각해보기) 먼저 그래프의 영역을 그리는 공간이 (1)은 ab-평면, (2)는 xy-평면 임에 유의 하여야 한다. (1)은 이차함수의 근의 분리를 통해 쉽게 구할 수 있는데, (1) 에서 구한 'ab-평면 위의 영역'으로부터 (2)를 위한 'xy-평면 위의 자취'를 구해야 하는 문제이다. 풀이) 이상의 4가지 경우를 xy 평면 위에 그리면 아래와 같이 된다.