복소수, α , β , γ 와 실수 δ 가 다음의 세 조건을 만족하면서 움직인다. a,b
조건 1 :, α , β , γ 는 서로 다르다. δ
조건 2 :, α , β , γ 는 4차 방정식 δ 의 근이다. z4−2z3−2az+b=0
조건 3 :의 실수부는 0이고, 허수부는 0이 아니다. αβ+γδ
(1), α , β , γ 중 2개는 실수이고, 나머지 2개는 서로 켤레복소수임을 보이시오. δ
(2)를 b 로 나타내시오. a
(3)가 취할 수 있는 값의 범위를 복소평면 위에 나타내시오. α+β
생각해보기
(1)은, 4개의 복소수가 실수 계수의 4차 방정식의 근이므로, 허근이 있다고 한다면 2개나 4개입니다. 켤레복소수도 같은 방정식의 해가 된다는 사실을 이용하면 보일 수 있습니다.
(2)는, 방정식의 계수를 이용하여 구할 수 있습니다. 문자와 식이 많이 나와서 혼란스럽기 떄문에, 먼저 (1)의 결과를 이용하여 4개의 복소수를 4개의 실수로 나타내는 것이 좋습니다.
(3)은 자취의 방정식문제인데, (2)에서 유도한 식을 이용할 수 밖에 없습니다.
풀이
(1)
조건 3에 의해
먼저
따라서
여기서 만약 남은 두 수가 허수라면,
이므로
이상으로
(2)
(1)에서 논의한 내용을 통해서 우리는
이므로 조건 3에서,
조건 2에서
먼저
이어서
상수항을 비교하면
이고, 마지막으로
(3)
(2)에서 논의한 내용을 계속 이어나가자.
①
②
이상에서 복소수

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