Processing math: 100%

본고사

도쿄대 2019-6(이과)

후플 2022. 2. 1. 19:15

 

 

 

 

 

 

 

복소수 α, β, γ, δ와 실수 a,b가 다음의 세 조건을 만족하면서 움직인다.

조건 1 : α, β, γ, δ는 서로 다르다.
조건 2 : α, β, γ, δ는 4차 방정식 z42z32az+b=0의 근이다.
조건 3 : αβ+γδ의 실수부는 0이고, 허수부는 0이 아니다. 

(1) α, β, γ, δ 중 2개는 실수이고, 나머지 2개는 서로 켤레복소수임을 보이시오.
(2) ba로 나타내시오.
(3) α+β가 취할 수 있는 값의 범위를 복소평면 위에 나타내시오.

 

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

(1)은, 4개의 복소수가 실수 계수의 4차 방정식의 근이므로, 허근이 있다고 한다면 2개나 4개입니다. 켤레복소수도 같은 방정식의 해가 된다는 사실을 이용하면 보일 수 있습니다.

 

(2)는, 방정식의 계수를 이용하여 구할 수 있습니다. 문자와 식이 많이 나와서 혼란스럽기 떄문에, 먼저 (1)의 결과를 이용하여 4개의 복소수를 4개의 실수로 나타내는 것이 좋습니다.

 

(3)은 자취의 방정식문제인데, (2)에서 유도한 식을 이용할 수 밖에 없습니다.

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

(1)

조건 3에 의해 α, β, γ, δ 중 적어도 하나는 허수이다. α를 허수라고 할 때, 조건 2에서 α는 실수 계수인 4차 방정식의 한 근이므로 켤레복소수 ˉα도 이 방정식의 근이 된다. 따라서 β, γ, δ 중 하나가 곧 ˉα이다.

 

먼저 β=ˉα이면, γ, δ는 모두 실수이거나 서로 켤레복소수이다. 이때 αβ+γδ는 실수가 되어 조건 3을 만족할 수 없다.

 

따라서 γ, δ 중 하나가 ˉα이고, γ=ˉα라 해도 일반성을 잃지 않는다.

 

여기서 만약 남은 두 수가 허수라면, δ=ˉβ이고

αβ+γδ=αβ+αβ=αβ+αβ=αβ+γδ

이므로 αβ+γδ가 실수가 되어 조건 3을 만족하지 않는다. 따라서 β, δ는 실수이다.

 

이상으로 α, β, γ, δ 중 2개는 실수이고, 나머지 2개는 켤레복소수임을 알 수 있다.

 

 

 

(2)

(1)에서 논의한 내용을 통해서 우리는 α, β, γ, δ를 네 실수 p,q,r,s를 사용해 나타낼 수 있다. 다시 말해서 αβp+qi, r로 그리고 γδpqi, s로 써도 무방하다. 단, 조건 1로 부터 q0이고 rs를 만족해야 한다.

αβ+γδ=r(p+qi)+s(pqi)=p(r+s)+q(rs)i

이므로 조건 3에서, p(r+s)=0이다.

 

조건 2에서 α, β, γ, δz42z32az+b=0의 근이므로, 인수정리에 의해 방정식의 좌변을

(zpqi)(zp+qi)(zr)(zs)={z22pz+(p2+q2)}{z2(r+s)z+rs}로 나타낼 수 있다.

 

먼저 z2의 계수를 비교하면 (p2+q2)+rs+2p(r+s)=0인데, 조금 전에 p(r+s)=0임을 보였기 때문에, p2+q2=rs()라는 사실을 얻을 수 있다.

 

이어서 z3의 계수를 비교하면 2p(r+s)=2를 얻는다. 마찬가지로 조건3에서 p(r+s)=0였기 때문에, p=0이면 r+s=2이고, r+s=0이면 p=1임을 알 수 있다.

 

상수항을 비교하면 rs(p2+q2)=br2s2=b

이고, 마지막으로 z의 계수를 비교하면 2prs(p2+q2)(r+s)=2a2prs+rs(r+s)=2ars{2p+(r+s)}=2a이다. 위 식으로부터 p=0, r+s=2일 때는 a=rs이고, p=1, r+s=0일 때는 a=rs임을 알 수 있다. 어느 경우든 r2s2=a2이므로 b=r2s2=a2가 된다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

(2)에서 논의한 내용을 계속 이어나가자.

 

p=1, r+s=0일 때

 

()로 부터,1+q2=r(r)=r2가 성립한다. 이를 만족하는 r, q 중에서 q0인 쌍을 정하면, 복소수 α, β, γ, δ와 실수 a, b가 정해지고 3개의 조건도 만족함을 알 수 있다.

 

α+β=X+Yi라 하면, 1+r=X,q=Y이므로 자취의 방정식은 (X1)2Y2=1이다.

 

 

p=0, r+s=2일 때

 

()로 부터, q2=r(2r)=(r1)21가 성립한다. 이를 만족하는 r, q 중에서 q0인 쌍을 정하면, 복소수 α, β, γ, δ와 실수 a, b가 정해지고 3개의 조건도 만족함을 알 수 있다.

 

α+β=X+Yi라 하면, r=X,q=Y이므로 자취의 방정식은 (X1)2Y2=1이다.

 

이상에서 복소수 α+β가 성립하는 범위는, 쌍곡선 (X1)2Y2=q에서 Y=0인 점은 제외한 부분이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

반응형

'본고사' 카테고리의 다른 글

교토대 2019-2(문과)  (0) 2022.05.16
교토대 2019-1(문과)  (1) 2022.03.16
도쿄대 2019-5(이과)  (0) 2022.01.25
도쿄대 2019-4(이과)  (0) 2022.01.22
도쿄대 2019-3(이과)  (0) 2021.12.14