교토대 2019-1(문과)

 

다음의 물음에 각각 답하시오.

1) $x$에 대한 다항식 $x^5 +2x^4+ax^3+3x^2+3x+2$를 다항식 $x^3+x^2+x+1$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 하자. $R(x)$의 1차항의 계수가1 일 때, 실수 $a$의 값을 구하고 $Q(x)$와 $R(x)$를 구하여라.

2) $8.94^{18}$의 정수부분은 몇 자리 수인가? 그리고 이때 앞에서부터 두 수를 구하시오. 
(예를 들어 12345.6789의 앞에서부터 두 수는 12이다.)

 

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

문제 1)은 다항식을 직접 나눗셈함으로써 쉽게 해결할 수 있다.

문제 2)의 자릿수나 맨 앞에 오는 수를 묻는 문제는 많이 봤을텐데, 두 번째 수를 묻는 경우는 생소할 것이라 생각된다. 하지만 맨 앞의 수를 구하는 방법과 같은 아이디어를 써 본다면 어렵지 않게 해결할 수 있을 것이다.

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

1)

직접나눗셈을 하면

$$\begin{align} &x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2\\=&(x^3+x^2+x+1)x^2+x^4+(a-1)x^3+2x^2+3x+2 \\=&(x^3 +x^2+x+1)(x^2+x)+(a-2)x^3+x^2+2x+2\\=&(x^3+x^2+x+1)(x^2+x+a-2)+(-a+3)x^2+(-a+4)x+(-a+4) \end{align}$$

이다. 조건으로부터 $R(x)$의 1차항의 계수 $(-a+4)$가 1이므로 $a=3$.

따라서 $Q(x)=x^2 +x+1$, $R(x)=x+1$ 이다.

 

 

 

 

 

 

 

2)

$$10^n \leq 8.94^{18} < 10^{n+1}$$

을 만족하는 양의 정수 $n$을 찾자. 양변에 상용로그를 취하면, $$ n \leq 18\log_{10}8.94 < n+1$$이다. 주어진 상용로그표에서 $\log_{10}8.94 =0.9513$이므로, 

$$18 \times 0.9512 < 18 \log_{10}8.94 < 18\times 0.9514$$

이고, $ 18 \times 0.9512 =17.1216$, $18 \times 0.9514=17.1252$이므로 위의 부등식을 만족하는 $n$은17이다. 따라서 $8.94^{18}$의 정수부분은 18자리 수이다.

 

다음으로,

$$ \cfrac{m}{10} \times 10^{17} \leq 8.94^{18} < \cfrac{m+1}{10} \times 10^{17}$$을 만족하는 두 자리 정수 $m$을 구하자. 먼저 첫번째 부등식 $$\log_{10} \cfrac{m}{10} \times 10^{17} \leq \log_{10}8.94^{18}<17.1252$$에서 $\log_{10}\cfrac{m}{10} \leq 0.1252$ 를 만족하는 값을 상용로그표에서 찾아보면 $m<13.4$임을 알 수 있다.

두번째 부등식 $$\log_{10} \cfrac{m+1}{10} \times 10^{17} > \log_{10}8.94^{18}>17.1216$$에서 $\log_{10}\cfrac{m+1}{10}\times10^{17}>0.1216$ 를 만족하는 값을 상용로그표에서 찾아보면 $m+1>13.2$ 즉, $m>12.2$임을 알 수 있다.

따라서 부등식을 만족하는 두자리 정수 $m$은 13이고, $$1.3 \times 10^{17} \leq 8.94^{18} <1.4 \times 10^{17}$$이므로, $8.94^{18}$의 맨 앞 두 수는 13이다.