도쿄대 2019-4(이과)

 

 

 

 

 

 

1이상의 정수 $n$에 대하여

(1) $n^2 +1 $과 $5n^2+9$의 최대공약수 $d_n$을 구하시오.
(2) $(n^2+1)(5n^2+9)$은 정수의 제곱이 될 수 없음을 보이시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

우리나라의 정규 교과 내용은 아니지만 kmo 등의 교육을 받은 학생들에게는 매우 익숙한 "유클리드 호제법"이 사용됩니다. 수능과는 전혀 관계가 없는 공식(?)이지만, 고등수학(상)의 나머지정리 파트에서는 종종 사용될 수 있으니, 관심있는 학생들은 검색해서 익혀둬도 좋을 것 같습니다.

(2)의 경우 식을 전개하다보면 '당연한 거 아니야?' 라고 말만하고 넘어가는 경우가 제법 있습니다. 하지만 수학적으로 증명하지 않으면 아무런 효력이 없기 때문에 끝까지 엄밀히 증명을 해보시길 추천합니다.

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

(1)

$5n^2+9=5(n^2+1)+4$이므로 유클리드 호제법에 의해, $d_n$은 $n^2+1$과 4의 최대공약수와 같다.

 

①$n$이 짝수일 때

$n^2+1$이 홀수이므로 $d_n=1$ 이다.

 

②$n$이 홀수일 때

$n$은 정수 $k$에 대해 $n=2k+1$로 나타낼 수 있고,

$$n^2+1=(2k+1)^2+1=4(k^2+k)+2$$

에서 $d_n=2$이다.

따라서

$$d_n= \left\{\begin{align}&1 \qquad \text{n 짝수}\\&2 \qquad \text{n 홀수}\end{align}\right.$$

 

 

 

 

 

(2)

 

① $n$이 짝수일 때

(1)에서 $n^2 +1$과 $5n^2 +9$는 서로소인 정수이므로 $(n^2 +1)(5n^2+9)$가 제곱수라면, $n^2+1$도 어떤 정수의 제곱이어야 한다. 그런데

$$n^2 <n^2 +1 <(n+1)^2 $$이므로, $(n^2+1)$은 정수의 제곱이 될 수 없다. 따라서 $(n^2+1)(5n^2 +9)$도 제곱수가 아니다.

 

 

② $n$이 홀수일 때

$n=2k+1$을 이용해 주어진 식을 표현하면, 

$$\begin{align} &(n^2 +1)(5n^2+9)\\=&\left\{ (2k+1)^2 +1 \right\} \left\{5(2k+1)^2+9\right\}\\=&(4k^2+4k+2)(20k^2+20k+14)\\=&2(2k^2+2k+1)\cdot 2(10k^2+10k+7)\end{align} $$

이다. 이때 (1)에서 $n^2+1$과 $5n^2+9$의 최대공약수가 2였으므로, $(2k^2+2k+1)$과 $(10k^2+10k+7)$은 서로소인 정수이다.

만약 $(2k^2+2k+1)(10k^2+10k+7)$이 제곱수라면, $(10k^2+10k+7)$도 어떤 정수의 제곱이어야 한다. 그런데 제곱수의 일의 자리수가 7이 될 수 없기 때문에 $10k^2+10k+7$는 정수의 제곱이 될 수 없다. 따라서 $(n^2+1)(5n^2 +9)$도 제곱수가 아니다.

 

①,② 에서 $(n^2+1)(5n^2 +9)$는 정수의 제곱이 될 수 없다.