좌표공간에 5개의 점, , , , 가 있다. 선분 의 중점 과 선분 의 중점 을 지나고, 직선 에 평행한 평면을 라 하자. 또, 인 실수 에 대해 점 를 생각하자.
(1) 팔면체가 평면 에 의해 잘린 부분과, 평면 가 평면 에 의해 잘린 부분을 동일 평면 위에 그리시오.
(2) 팔면체가 평면 에 의해 잘린 부분이 팔각형이 되는 의 범위를 구하시오.
(3) 실수가 (2)에서 구한 범위 위에서 움직인다. 팔면체 가 평면 에 의해 잘린 팔각형의 내부에서 , 인 부분을 점 가 움직이고 있다. 좌표평면 위의 점 의 자취의 넓이를 구하시오.
생각해보기
팔면체를 생각하는 것 만으로도 어려운데, 팔면체의 단면까지 생각해야되는 문제입니다.
과연 팔면체를 어떻게 잘라야 단면이 팔각형이 될 수 있는지를 먼저 생각해보시길 바랍니다.
음, 아마 쉽지 않으실텐데요,,,,, 제 생각에는 우리가 아는 팔면체가 정팔면체밖에 없기 때문인 것 같습니다.(정팔면체는 팔각형을 단면으로 가질 수 없습니다.)
풀이
(1)
팔면체
평면
이 결과를 평면

(2)
팔면체
(1)의 결과를 이용하여, 평면
따라서 구하는 범위는

(3)
(2)로부터
평면
평면
따라서 평면
이상으로, 좌표평면 위에
이때 영역의 넓이는,

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