본고사

도쿄대 2019-3(이과)

후플 2021. 12. 14. 21:32

 

 

 

 

좌표공간에 5개의 점 A(2,0,0), B(0,2,0), C(2,0,0), D(0,2,0), E(0,0,2)가 있다. 선분 AB의 중점 M과 선분 AD의 중점 N을 지나고, 직선 AE에 평행한 평면을 α라 하자. 또, 2<p<4인 실수 p에 대해 점 P(p,0,2)를 생각하자.

(1) 팔면체 PABCDE가 평면 y=0에 의해 잘린 부분과, 평면 α가 평면 y=0에 의해 잘린 부분을 동일 평면 위에 그리시오.

(2) 팔면체 PABCDE가 평면 α에 의해 잘린 부분이 팔각형이 되는 p의 범위를 구하시오.

(3) 실수 p가 (2)에서 구한 범위 위에서 움직인다. 팔면체 PABCDE가 평면 α에 의해 잘린 팔각형의 내부에서 y0, z0인 부분을 점 (x,y,z)가 움직이고 있다. 좌표평면 위의 점 (y,z)의 자취의 넓이를 구하시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

팔면체를 생각하는 것 만으로도 어려운데, 팔면체의 단면까지 생각해야되는 문제입니다.

과연 팔면체를 어떻게 잘라야 단면이 팔각형이 될 수 있는지를 먼저 생각해보시길 바랍니다. 

음, 아마 쉽지 않으실텐데요,,,,, 제 생각에는 우리가 아는 팔면체가 정팔면체밖에 없기 때문인 것 같습니다.(정팔면체는 팔각형을 단면으로 가질 수 없습니다.)

 

 

 

 

 

풀이

 

 

 

(1)

팔면체 PABCDEy=0에 의해 잘린 부분은 사각형 PAEC가 된다.

평면 α는 두 점 M,N의 중심(1,0,0)을 지나고, 직선 AE에 평행하기 때문에, y=0에 의해 잘린 부분은 직선 z=x1이 된다.

2<p3일 때, z=x1은 변 AP와 만나고, (p=3이면 점 P를 지난다.)

3<p<4일 때, z=x1은 변 CP와 만난다.

이 결과를 평면 y=0 위에 그리면 다음과 같다.

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

팔면체 PABCDE가 평면 α에 의해 잘린 단면이 팔각형이 된다는 말은, 평면 α와 8개의 변에서 만난다는 말이다.

(1)의 결과를 이용하여, 평면 α와 팔면체 PABCDE의 변과의 교점을 평면 y=0 위에 나타내면 아래의 그림과 같다.

 

2<p3 일 때, 평면 αCE, BE, AB, DE, AD, AP와 만난다. 6개의 변과 만나기 때문에 단면은 육각형이 된다.

 

3<p<4 일 때, 평면 αCE, BE, AB, BP, DE, AD, DP, AP와 만난다. 8개의 변과 만나기 때문에 단면은 팔각형이 된다.

따라서 구하는 범위는 3<p<4 이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

(2)로부터 3<p<4일 때, y0, z0에서 평면 α와 만나는 변은 AB, BP, CP이다.

평면 αAB의 교점은 M(1,1,0)이다.

평면 αCP의 교점은 평면 y=0위의 두 직선 z=x1, z=2p+2(x+2)의 교점에 해당하므로 (1+6p,0,6p)이다.

BP=(p,2,2)이므로 선분 BP 위의 한 점은, 0t1에 대해 (0,2,0)+t(p,2,2)=(pt,22t,2t)로 표현가능하다. 이때 직선 z=x1과 만나게 되는 t의 값을 구하면 2t=pt1에서 t=1p2<1이다.

따라서 평면 αBP의 교점은 (pp2,2p6p2,2p2)이다.

 

이상으로, 좌표평면 위에 (y,z)가 움직이는 영역은 아래 그림과 같다.

이때 영역의 넓이는,

1212p2+126p2p6p2=1p2+6p18p(p2)=7p18p(p2)

 

 

 

 

 

 

 

반응형

'본고사' 카테고리의 다른 글

도쿄대 2019-5(이과)  (0) 2022.01.25
도쿄대 2019-4(이과)  (0) 2022.01.22
도쿄대 2019-1(이과)  (0) 2021.12.02
도쿄대 2019-4(문과)  (0) 2021.11.24
도쿄대 2019-3(문과)  (0) 2021.10.31