좌표공간에 5개의 점, A(2,0,0) , B(0,2,0) , C(−2,0,0) , D(0,−2,0) 가 있다. 선분 E(0,0,−2) 의 중점 AB 과 선분 M 의 중점 AD 을 지나고, 직선 N 에 평행한 평면을 AE 라 하자. 또, α 인 실수 2<p<4 에 대해 점 p 를 생각하자. P(p,0,2)
(1) 팔면체가 평면 PABCDE 에 의해 잘린 부분과, 평면 y=0 가 평면 α 에 의해 잘린 부분을 동일 평면 위에 그리시오. y=0
(2) 팔면체가 평면 PABCDE 에 의해 잘린 부분이 팔각형이 되는 α 의 범위를 구하시오. p
(3) 실수가 (2)에서 구한 범위 위에서 움직인다. 팔면체 p 가 평면 PABCDE 에 의해 잘린 팔각형의 내부에서 α , y≥0 인 부분을 점 z≥0 가 움직이고 있다. 좌표평면 위의 점 (x,y,z) 의 자취의 넓이를 구하시오. (y,z)
생각해보기
팔면체를 생각하는 것 만으로도 어려운데, 팔면체의 단면까지 생각해야되는 문제입니다.
과연 팔면체를 어떻게 잘라야 단면이 팔각형이 될 수 있는지를 먼저 생각해보시길 바랍니다.
음, 아마 쉽지 않으실텐데요,,,,, 제 생각에는 우리가 아는 팔면체가 정팔면체밖에 없기 때문인 것 같습니다.(정팔면체는 팔각형을 단면으로 가질 수 없습니다.)
풀이
(1)
팔면체
평면
이 결과를 평면

(2)
팔면체
(1)의 결과를 이용하여, 평면
따라서 구하는 범위는

(3)
(2)로부터
평면
평면
따라서 평면
이상으로, 좌표평면 위에
이때 영역의 넓이는,

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