도쿄대 2019-3(이과)

 

 

 

 

좌표공간에 5개의 점 $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(-2,0,0)$, $D(0,-2,0)$, $E(0,0,-2)$가 있다. 선분 $AB$의 중점 $M$과 선분 $AD$의 중점 $N$을 지나고, 직선 $AE$에 평행한 평면을 $\alpha$라 하자. 또, $2<p<4$인 실수 $p$에 대해 점 $P(p,0,2)$를 생각하자.

(1) 팔면체 $PABCDE$가 평면 $y=0$에 의해 잘린 부분과, 평면 $\alpha$가 평면 $y=0$에 의해 잘린 부분을 동일 평면 위에 그리시오.

(2) 팔면체 $PABCDE$가 평면 $\alpha$에 의해 잘린 부분이 팔각형이 되는 $p$의 범위를 구하시오.

(3) 실수 $p$가 (2)에서 구한 범위 위에서 움직인다. 팔면체 $PABCDE$가 평면 $\alpha$에 의해 잘린 팔각형의 내부에서 $y \geq 0$, $z \geq 0$인 부분을 점 $(x,y,z)$가 움직이고 있다. 좌표평면 위의 점 $(y,z)$의 자취의 넓이를 구하시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

팔면체를 생각하는 것 만으로도 어려운데, 팔면체의 단면까지 생각해야되는 문제입니다.

과연 팔면체를 어떻게 잘라야 단면이 팔각형이 될 수 있는지를 먼저 생각해보시길 바랍니다. 

음, 아마 쉽지 않으실텐데요,,,,, 제 생각에는 우리가 아는 팔면체가 정팔면체밖에 없기 때문인 것 같습니다.(정팔면체는 팔각형을 단면으로 가질 수 없습니다.)

 

 

 

 

 

풀이

 

 

 

(1)

팔면체 $PABCDE$가 $y=0$에 의해 잘린 부분은 사각형 $PAEC$가 된다.

평면 $\alpha$는 두 점 $M, N$의 중심$(1,0,0)$을 지나고, 직선 $AE$에 평행하기 때문에, $y=0$에 의해 잘린 부분은 직선 $z=x-1$이 된다.

$2<p \leq 3 $일 때, $z=x-1$은 변 $AP$와 만나고, ($p=3$이면 점 $P$를 지난다.)

$3 <p<4$일 때, $z=x-1$은 변 $CP$와 만난다.

이 결과를 평면 $y=0$ 위에 그리면 다음과 같다.

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

팔면체 $PABCDE$가 평면 $\alpha$에 의해 잘린 단면이 팔각형이 된다는 말은, 평면 $\alpha$와 8개의 변에서 만난다는 말이다.

(1)의 결과를 이용하여, 평면 $\alpha$와 팔면체 $PABCDE$의 변과의 교점을 평면 $y=0$ 위에 나타내면 아래의 그림과 같다.

 

$2<p \leq 3$ 일 때, 평면 $\alpha$는 $CE$, $BE$, $AB$, $DE$, $AD$, $AP$와 만난다. 6개의 변과 만나기 때문에 단면은 육각형이 된다.

 

$3<p<4$ 일 때, 평면 $\alpha$는 $CE$, $BE$, $AB$, $BP$, $DE$, $AD$, $DP$, $AP$와 만난다. 8개의 변과 만나기 때문에 단면은 팔각형이 된다.

따라서 구하는 범위는 $3<p<4$ 이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

(2)로부터 $3<p<4$일 때, $y \geq 0$, $z \geq 0$에서 평면 $\alpha$와 만나는 변은 $AB$, $BP$, $CP$이다.

평면 $\alpha$와 $AB$의 교점은 $M(1,1,0)$이다.

평면 $\alpha$와 $CP$의 교점은 평면 $y=0$위의 두 직선 $z=x-1$, $z=\cfrac{2}{p+2}(x+2)$의 교점에 해당하므로 $(1+\cfrac{6}{p},0,\cfrac{6}{p})$이다.

$\overrightarrow{BP}=(p, -2, 2)$이므로 선분 $BP$ 위의 한 점은, $0 \leq t \leq 1$에 대해 $(0,2,0)+t(p,-2,2)=(pt,2-2t,2t)$로 표현가능하다. 이때 직선 $z=x-1$과 만나게 되는 $t$의 값을 구하면 $2t=pt-1$에서 $t=\cfrac{1}{p-2}<1$이다.

따라서 평면 $\alpha$와 $BP$의 교점은 $(\cfrac{p}{p-2}, \cfrac{2p-6}{p-2},\cfrac{2}{p-2})$이다.

 

이상으로, 좌표평면 위에 $(y,z)$가 움직이는 영역은 아래 그림과 같다.

이때 영역의 넓이는,

$$ \cfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot \cfrac{2}{p-2} +\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{6}{p} \cdot \cfrac{2p-6}{p-2}=\cfrac{1}{p-2}+\cfrac{6p-18}{p(p-2)}=\cfrac{7p-18}{p(p-2)}$$