도쿄대 2019-1(이과)

 

 

 

 

다음의 정적분을 계산하시오.

$$\int ^1 _0 \left( x^2 +\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx$$

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

어짜피 전개를 하지 않고는 다음 단계로 나아갈 수 없다. 전개 후에는 각 항 별로 따로 적분할 수 있다. 물론 적절히 치환적분을 사용해야 되지만, 그 방법이 전형적이다.

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

$$\begin{align}&\int ^1 _0 \left( x^2 +\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx\\=& \int ^1 _0 \left(x^2 + \cfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}+\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\cfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\right)dx\\=&\int^1 _0 \left(x^2+\cfrac{2x^3+x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}+\cfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\right)dx\\=&\int^1 _0 x^2 dx+\int ^1 _0 \cfrac{2x^3+x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}dx+\int ^1 _0 \cfrac{x^2}{(1+x^2)^2}dx \end{align}$$

 

첫 번째 정적분은,

$$\int^1_0 x^2 dx = \left[ \cfrac{1}{3}x^3 \right]^1_0=\cfrac{1}{3}$$

 

두 번째 정적분은,  $t=\sqrt{1+x^2}$ 의 치환을 이용하자. 이때 $$\cfrac{dt}{dx}=\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$이고,

$$\begin{align}\int^1_0 \cfrac{2x^3+x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}dx&=\int ^1_0 \cfrac{2x^2+1}{1+x^2}\cdot \cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx\\&=\int^{\sqrt2}_1 \cfrac{2t^2-1}{t^2}dt\\&=\left[ 2t+\cfrac{1}{t}\right]^{\sqrt2}_1\\&=\cfrac{5\sqrt2}{2}-3 \end{align}$$

 

마지막으로 세 번째 정적분은,  $x=\tan t$ 의 치환을 이용하자. 이때 $$\cfrac{dx}{dt}=\sec ^2 t=1+x^2 $$이고,

$$\begin{align}\int^1_0 \cfrac{x^2}{(1+x^2)^2}dx&=\int ^1_0 \cfrac{x^2}{1+x^2}\cdot \cfrac{1}{1+x^2}dx\\&=\int ^{\pi/4}_0 \cfrac{\tan ^2 t}{1+\tan ^2 t}dt\\&=\int ^{\pi/4}_0 \sin ^2 t dt\\&=\int ^{\pi/4}_0 \cfrac{1-\cos 2t}{2}dt\\&=\left[ \cfrac{t}{2}-\cfrac{\sin 2t}{4}\right]^{\pi/4}_0\\&=\cfrac{\pi}{8}-\cfrac{1}{4} \end{align}$$

 

이상으로 구하는 정적분의 값은,

$$\begin{align}&\cfrac{1}{3}+\left(\cfrac{5\sqrt2}{2}-2\right)+\left(\cfrac{\pi}{8}-\cfrac{1}{4}\right)\\=&\cfrac{\pi}{8}+\cfrac{5\sqrt2}{2}-\cfrac{35}{12} \end{align}$$이다.