후플 Math

다항식 $f(x)=(x-1)^2(x-2)$에 대한 다음 물음에 답하시오.$(1)$ 실수 계수의 다항식 $g(x)$를 $f(x)$로 나눈 나머지를 $r(x)$라 하자. 이때, $g(x)^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지와 $r(x)^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지가 같음을 보이시오.$(2)$ 실수 $a,b$에 대해 $h(x)=x^2+ax+b$라 하자. $h(x)^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지를 $h_1(x)$, $h_1(x)^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지를 $h_2(x)$라 할 때, $h_2(x)$가 $h(x)$가 되도록 하는 순서쌍 $(a,b)$를 모두 구하시오.       생각해보기 $(2)$는 $(1)$을 활용하는 문제이다. 다항식의 차수에 겁먹을 수도 있지만, 어떤 다항식 $f(x)$가 $..

좌표공간에 네 점 $O(0,0,0), A(2,0,0), B(1,1,1), C(1,2,3)$가 있다.$(1)$  $\overrightarrow{OP}\perp \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP}\perp \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OC}=1$을 만족하는 점 $P$의 좌표를 구하시오.$(2)$ 점 $P$에서 직선 $AB$에 수선을 내리고, 그 수선의 발을 $H$라 하자. $\overrightarrow{OH}$를 $\overrightarrow{OA}$와 $\overrightarrow{OB}$를 이용해서 나타내시오.$(3)$ 점 $Q$를 $\overrightarrow{OQ}= \cfrac..

규칙 기본 스도쿠 규칙을 만족한다. 9x9 그리드 안에 격자점을 3 개씩 지나는 아래로 볼록한 이차함수 $y=f(x)$와 위로 볼록한 이차함수 $y=g(x)$가 있다. 격자점의 기준이 되는 원점을 찾는 것도 퍼즐의 과정이며, 작은 정사각형의 한 변의 길이는 1로 한다. 격자점과 격자점을 둘러싸고 있는 네 칸은 다음과 같은 성질을 만족한다.           성질 : 격자점의 좌표가 $(x,y)$일 때, $x=\cfrac{b+c}{2}$, $y=\cfrac{a+d}{2}$이다.   추가로 $f(x)=0$의 두 근을 $\alpha, \beta$, $g(x)=0$의 두 근을 $\gamma, \delta$라 할 때, $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 18$, $\alpha \bet..

실수 $a$에 대해, 좌표평면 위의 점 $(0,a)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 $C$라고 하자.1) $C$가 부등식 $y>x^2$을 만족시키도록 하는 $a$의 범위를 구하시오.2) $a$가 1)에서 구한 범위를 만족한다고 하자. $C$에서 $x \geq 0$이고 $y       생각해보기  문제 1)은 직교좌표계로써 부등식을 세우면$y$의 범위가$a$에 따라 달라지기 때문에 판별식으로 해결하기에 설명이 좀 더 길어질 느낌이다. 역시 원 위의 점은 삼각함수를 이용해서 표현하자. 문제2)를 해석해보자.$P$가 움직이면$L_P$가 변하는데, 이게 같은 값을 가지는 경우가 언제인지를 묻고 있다.$L_P$에 대한 함수를 구하고 미분을 통해 그래프 개형을 파악해 보자.         풀이..

규칙 : 각 셀에 1부터 8까지의 숫자를 적어 넣어 큐브 표면을 감싸는 각 행(그림에서와 같이)과 굵은 선으로 둘러싸인 각 영역에 각 숫자가 정확히 한 번씩 나타나도록 합니다. ※ 문제의 출처는 티스토리지기 후플에게 있음을 밝힙니다. 다운받아서 풀어보시라고 파일을 첨부합니다만! 허락없이 무단 배포하진 말아주세요 :) 과거에 대회 출제를 위해 만들었던 Isodoku 입니다. 이 유형 같은 경우에 초등학생, 중학생들에게 시켜보면 굉장히 반응이 좋습니다! 딱히 스도쿠에 관심이 없던 아이들도 입체적이고 시각적인 퍼즐에 이끌리는 것 같았습니다. 물론 열심히 보다보면 그림이 움직이는 것 같은 착시에 빠질지도 모릅니다! 재밌게 즐겨주세요^^ Hint↓ 더보기 주어진 숫자가 대칭을 이루고 있습니다. 1, 2를 먼저 찾..

반지름 1인 구 위의 네 점 $A,B,C,D$가 $$AB=1, AC=BC, AD=BD,\\ \cos{\angle ACB}=\cos{\angle ADB}=\cfrac{4}{5}$$ 를 만족하고 있다. (i) 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오. (ii) 사면체 $ABCD$의 부피를 구하시오. 생각해보기 '문과' 시험인데도 불구하고 공간좌표가 시험범위라는 사실이 굉장히 낯설게 느껴집니다. 도쿄대 문과생들에게는 공간지각능력도 요구되는 모양입니다. (i)에서 $ABC$의 넓이를 구하는 것은 어렵지 않습니다. (i)을이용하여 (ii)에서 부피를 구해야 되니까, 점 $D$에서 평면 $ABC$까지의 거리를 구하는 것이 관건이 되겠네요. 공간도형 문제는 항상 평면화하여 해결합시다! 사실 공간지각능력따윈 중요하지 않을지도 ..

검은 구슬 3개, 빨간 구슬 4개, 흰 구슬 5개가 들어있는 상자에서, 구슬을 한 개씩 꺼내어 순서대로 일렬로 나열하자. 단, 상자에서 각각의 구슬을 고를 확률은 같다. (i) 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않을 확률 $p$를 구하시오. (ii) 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않을 때, 어떤 검은 구슬도 이웃하지 않을 조건부 확률 $q$를 구하시오. 생각해보기 (i)의 유형은 교과서에서도 매우 자주 나오는 친숙한 유형이다. 하지만 (ii)처럼 두 종류가 모두 이웃하지 않는 경우는 흔치않다. 복잡한 경우의 수 문제의 경우 케이스를 잘게 쪼갤 수록 각각의 계산은 수월해지는 경우가 많다. 생각하길 두려워하지 말고, 먼저 2종류의 구슬을 나열해놓고 남은 한 종류의 구슬을 끼워넣는 방법을 생각해보자! 풀이 (i) 먼저 ..

(i) 양의 정수 $k$에 대해, $A_k$를 다음 정적분의 값으로 정의하자. $$A_k =\int^{\sqrt{(k+1)\pi}}_{\sqrt{k\pi}}|\sin(x^2)|dx$$ 이때, 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $$\cfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leq A_k \leq \cfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$$ (ii) 양의 정수 $n$에 대해, $B_n$을 다음 정적분의 값으로 정의하자. $$B_n=\cfrac{1}{\sqrt n}\int^{\sqrt{2n\pi}}_{\sqrt{n\pi}}|\sin(x^2)|dx$$ 이때, $\lim\limits_{n \to \infty}B_n$을 구하시오. 생각해보기 (i)은 먼저 적절한 치환적분을 통해 주어진 정적분의 형태를 바꿔야..

좌표평면 위의 곡선 $y=3x^2-4x$를 $C$, 직선 $y=2x$를 $l$이라 하자. 실수 $t$에 대해, 포물선 $C$ 위의 점 $P(t,3t^2-4t)$에서 직선 $l$까지의 거리를 $f(t)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (i) 실수 $a$의 범위가 $-1 \leq a \leq 2$일 때, 다음 정적분을 구하시오. $$g(A)= \int^a_{-1}f(t)dt$$ (ii) 실수 $a$의 범위가 $0 \leq a \leq 2$일 때, $g(a)-f(a)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. 생각해보기 '거리'와 같은 물리량은 항상 양수라는 사실을 인지하고 있어야합니다. 그에 따라 미지수의 범위를 잘 나눠주기만 한다면 크게 어려운 문항은 아닙니다. 풀이 (i) 점 $P$에서 직선 $ l : 2x-..

2보다 큰 실수 $k$에 대한 이차방정식 $x^2+x-k=0$의 두 실근을 $\alpha , \beta$라 하자. 이때, $$\cfrac{\alpha ^3}{1-\beta} + \cfrac{\beta ^3}{1-\alpha}$$ 의 최솟값을 구하시오. 생각해보기 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해 준식을 $k$에 대한 분수식으로 고칠 수 있습니다. 이제 최솟값을 구하는 문제가 남는데, 식의 형태를 보면 어떤 방법을 쓰면 좋을지가 보입니다! 그리고 최솟값/최댓값을 묻는 문제에서는, 특별한 말이 없더라도 그때의 $k$값까지 구하는 습관을 기릅시다. 풀이 이차방정식 $x^2+x-k=0$의 판별식은 $D=1+4k$ 이므로 $k>2$에서 항상 서로 다른 두 실근을 갖는다. 준식이 대칭식이므로, 이차방정식의..