후플 Math

세 변의 길이의 합이 2인 삼각형 $ABC$에 대해 변 $BC$의 길이를 $a$, 변 $CA$의 길이를 $b$라 하자. 삼각형 $ABC$를 변 $BC$를 축으로하여 1회전 시킨 입체의 부피를 $V$라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (1) $a$를 고정하고 $b$를 변화시킬 때, $V$가 최대가 되는 순간은 삼각형 $ABC$가 밑변을 $BC$로 하는 이등변삼각형일 때임을 보이시오. (2) $a$, $b$를 동시에 변화시킬 때, $V$의 최댓값과 그 때의 $a$, $b$를 각각 구하시오. 생각해보기 삼각형이 나오는 기본 기하 문제에서는 반드시 삼각형의 결정조건을 짚고 넘어가야 한다. 삼각형의 세 변의 길이를 $a$, $b$, $c$라 할 때, 삼각형의 결정조건은 $$a

양의 실수 $t$에 대해, 아래 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 $S(t)$라고 하자. $$x \geq 0,\quad y\geq 0 , \quad xy \leq 1 ,\quad x+y \leq t$$ 이때, $\displaystyle\lim _{t \to \infty}(S(t)-2\log t )$를 구하시오. 생각해보기 우리나라 학생들에게 여전히 낯선 부등식의 영역 문제이다. $t$의 값에 따라 생기는 영역의 모습이 변할까봐 고민하지말자. 어짜피 구하는 극한값은 한없이 큰 $t$에 극한값이므로, 적당히 크고 일반적인 $t$에 대한 그래프의 개형에서 출발하면 충분하다. 풀이 $t>2$에 대해, 주어진 부등식의 영역을 나타낸 그래프는 아래와 같다. 먼저 영역의 경계인 두 식 $xy=1$과 $x+y=t$를..

삼각형 $ABC$에서 변 $AB$의 길이를 $c$, 변 $CA$의 길이를 $b$라고 하자. $\angle ACB = n \angle ABC$이면 $c0$이고 이는 $f(\theta)$가 증가함수임을 의미한다. 게다가 $$f(\theta) >f(0)=0$$ 이므로 $nb-c=2Rf(\theta)>0$이고, 따라서 $c

1개의 주사위를 $n$번 던질 때, $k$번 째에 1의 눈이 나오면 $X_k=1$이라하고, 2의 눈이 나오면 $X_k=-1$, 이외의 눈이 나오면 $X_k=0$이라 하자. $$Y_k=\cos \left(\frac{\pi}{3}X_k\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}X_k\right)$$라고 할 때, $Y_1$부터 $Y_n$까지의 곱 $Y_1Y_2 \cdots Y_n$을 $Z_n$이라 하자. 이때 아래의 문제에 답하시오. (1) $Z_2$가 실수가 아닐 확률을 구하시오. (2) $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$, $\cdots$ , $Z_n$이 모두 실수가 아닐 확률을 구하시오. (3) $Z_n$이 실수가 될 확률을 $p_n$이라고 하자. $p_n$을 $n$으로 나타내고, 극한값 ..

함수 $f(x)=(x+1)^{\frac{1}{x+1}}(x \geq 0)$에 대한 다음 물음에 답하시오. (1) $f(x)$의 최댓값을 구하시오. (2) $\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x), \displaystyle\lim_{x\to \infty}f'(x)$을 각각 구하시오. 필요하다면,$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0$라는 사실을 이용해도 된다. (3) $y=f(x)$의 그래프의 개형을 그리시오. 생각해보기 미분을 통해 함수의 증감을 조사하고, 그래프의 개형을 그리는 전형적인 기본문제이다. 풀이 (1) $x \geq 0$ 에서 $f(x)=(x+1)^{\frac{1}{x+1}}>0$이므로, 양변에 로그를 취할 수 있다...

$\triangle ABC$에서 변 $AB$의 길이를 $c$, 변 $CA$의 길이를 $b$라고 하자. $\angle ACB =3\angle ABC$이면, $c

원주를 3등분 한 점들을 시계방향으로 $A$, $B$, $C$라 하자. 점 $Q$는 $A$에서 출발하여 $A$, $B$, $C$로 다음 조건에 맞춰 이동한다. 1개의 주사위를 던져 1의 눈이 나오면 시계방향으로 한 칸 이동하고, 2의 눈이 나오면 반시계방향으로 한 칸 이동한다. 이외의 눈이 나오면 이동하지 않는다. 주사위를 $n$회 던졌을 때 $Q$가 $A$에 위치할 확률을 $p_n$이라 할 때, 아래의 문제에 답하시오. (1) $p_2$를 구하시오. (2) $p_{n+1}$를 $p_n$으로 나타내시오. (3) $p_n$을 구하시오. 생각해보기 주어진 점이 4개만 됬어도 계산이 훨씬 복잡했을텐데, 이 문제는 세팅이 아주 단순해서 쉬운문제라고 할 수 있다. 점화식 역시 가장 기초적인 형태이기 때문에 어렵지..

$a$는 $0 \leq a

$xz$ 평면 상의 곡선 $$z= \sqrt{\log(1+x)} \quad (0 \leq x\leq 1)$$을 $z$축을 축으로 1회전 시킨 곡면을 $S$라 하자. 이 $S$를 $x$축을 축으로 1회전 시킨 입체도형을 $V$라 할 때, $V$의 부피를 구하시오. 생각해보기 혹자는 회전시킨 도형을 다시 한 번 회전시켜서 부피를 구하라고 해서 지레 겁 먹을지도 모르겠다. 요즘 우리나라 고등학교 적분문제들을 봐도 회전체의 부피를 구하는 문제가 확실히 많이 줄어든 것 같아 더 그럴 것 이다. 하지만 사실 회전체의 부피를 구하는 문제는, 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면적만 구할 수 있다면 단순 계산이 돼버리는 경우가 많다. 필자의 컴퓨터 능력이 좋았다면 3D 애니메이션을 동원해서 회전체의 모습을 보여주..

가로 4칸, 세로 4칸의 4 $\times$ 4의 보드판을 1, 2, 3, 4의 네 숫자들로 채우자. 이 보드판의 가로를 '행', 세로를 '열'이라고 할 때, 모든 행 또는 열에 1, 2, 3, 4 가 정확히 한 번씩 들어가도록 하는 방법의 경우의 수를 구하시오. 생각해보기 개인적으로 아주 반가운 문제이다. 스도쿠를 좋아하는 필자 입장에서 이 문제는 4$\times 4$ 스도쿠의 가짓수를 묻는 것과 비슷해서인데... (물론 주어진 상황만 비슷할 뿐 실제 스도쿠의 가짓수랑은 차이가 크다.) 기쁜 마음은 제쳐두고, 이 문제는 숫자들이 한 번 씩만 들어간다는 조건을 사용하면 마치 수형도를 이용하는 풀이와 비슷하게 풀 수 있다. 풀이 보드판의 1행에 가 쓰여져 있다고 가정해보자. 이때, 와 같은 열에 같은 숫자..