오사카대 2020-2(이과)

 

 

 

 

 

 

1개의 주사위를 $n$번 던질 때, $k$번 째에 1의 눈이 나오면 $X_k=1$이라하고, 2의 눈이 나오면 $X_k=-1$, 이외의 눈이 나오면 $X_k=0$이라 하자.
$$Y_k=\cos \left(\frac{\pi}{3}X_k\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}X_k\right)$$라고 할 때, $Y_1$부터 $Y_n$까지의 곱 $Y_1Y_2 \cdots Y_n$을 $Z_n$이라 하자. 이때 아래의 문제에 답하시오.

(1) $Z_2$가 실수가 아닐 확률을 구하시오.
(2) $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$, $\cdots$ , $Z_n$이 모두 실수가 아닐 확률을 구하시오.
(3) $Z_n$이 실수가 될 확률을 $p_n$이라고 하자. $p_n$을 $n$으로 나타내고, 극한값 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}p_n$을 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

우리나라 교육과정에서는 복소평면을 다루지 않아서 사실 이게 뭔가 싶을 것이다. 하지만 이, 공계열로 진학을 생각하는 고등학생들은 대학교에 가서 배우기 전에 아래의 오일러 공식을 한 번 쯤 접해보는게 좋을 것 같다. 

$$e^{ix}=\cos x +i \sin x$$

본 문제의 풀이에서도 이 공식을 기반으로 하여 $Z_n$을 정리하고 해석하였다.

 

 

 

 

풀이

 

(1)

먼저 $X_k=1$, $X_k=-1$, $X_k=0$인 경우의 확률은 각각 $\cfrac{1}{6}$, $\cfrac{1}{6}$, $\cfrac{4}{6}$이다. $Z_n=Y_1Y_2Y_3\cdots Y_n$에서, $$Z_n=\cos \frac{\pi}{3}(X_1+X_2+\cdots +X_n)+i\sin \frac{\pi}{3}(X_1+X_2+\cdots +X_n) \qquad \cdots(\star)$$ $ -2 \leq X_1 + X_2 \leq 2$이므로 $Z_2$가 실수가 아닐 조건은 $X_1+X_2 \neq 0$이고, 그러한 $(X_1, X_2)$의 순서쌍은 $$(1,1), (1,0), (0,1), (-1,-1), (-1,0), (0,-1)$$뿐이다. 따라서 구하는 확률은 $\cfrac{1}{6} \cdot \cfrac{1}{6} +\cfrac{1}{6} \cdot \cfrac{4}{6}+\cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{1}{6} + \cfrac{1}{6} \cdot \cfrac{1}{6} + \cfrac{1}{6} \cdot \cfrac{4}{6} +\cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{2}$이다.

 

 

 

 

 

 

(2)

(1)의 $\star$를 생각하자. $Z_n$이 실수가 아니기 위해서는 $X_1+X_2+ \cdots + X_n$이 3의 배수가 아니면 충분하다. 이제 $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$, $\cdots$, $Z_n$이 모두 실수가 아닐 확률을 $q_n$이라 하자. 먼저 $Z_1$이 실수가 아닐 경우는 $X_1=1$이거나 $X_1=-1$인 경우 뿐이므로, $$q_1=\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{3}$$이다. 다음으로 $Z_n$이 실수가 아닐 때, $Z_{n+1}$도 실수가 아닐 경우를 생각해보자. $Z_n$이 실수가 아니기 때문에 $X_1+X_2+ \cdots + X_n$은 3의 배수가 아니다. 즉 다음의 2가지 경우로 나눌 수 있다.

 

① $X_1+X_2+ \cdots + X_n=3k+1$ 일 때

$X_{n+1}=0$ 이거나 $X_{n+1}=1$ 이면 $Z_{n+1}$도 실수가 아니다. 그 확률은 $\cfrac{4}{5}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}$이다.

 

②$X_1+X_2+ \cdots + X_n=3k+2$ 일 때

$X_{n+1}=0$ 이거나 $X_{n+1}=-1$ 이면 $Z_{n+1}$도 실수가 아니다. 그 확률은 $\cfrac{4}{5}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}$이다.

 

①,②의 어느 경우든 $q_{n+1}=\cfrac{5}{6}q_n$이므로, $$q_n=q_1\left(\cfrac{5}{6}\right)^{n-1}=\cfrac{1}{3}\left(\cfrac{5}{6}\right)^{n-1}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)
$Z_{n+1}$이 실수일 경우는 $Z_n$이 실수일 경우와 실수가 아닐 경우로 나누어 생각해보자.

 

①$Z_n$이 실수일 때

$n+1$번 째에 3,4,5,6의 눈이 나와야 하므로 구하는 확률은, $p_n \cdot \cfrac{4}{6}=\cfrac{2}{3}p_n$

 

②$Z_n$이 실수가 아닐 때

실수가 아닌 $Z_n$이 실수가 되게 할 주사위의 눈은 1,2 중 하나 뿐이므로 구하는 확률은, $(1-p_n)\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{6}(1-p_n)$

 

①,②에서 $p_{n+1}=\cfrac{2}{3}p_n +\cfrac{1}{6}(1-p_n)=\cfrac{1}{2}p_n +\cfrac{1}{6}$ 이다. 

여기에 $p_1=\cfrac{4}{6}=\cfrac{2}{3}$이고, 점화식을 변형하면 $p_{n+1}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{2}\left(p_n-\cfrac{1}{3}\right)$에서 $$p_n-\cfrac{1}{3}=\left(p_1-\cfrac{1}{3}\right)\left(\cfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\cfrac{1}{3}\left(\cfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$ 따라서 $p_n=\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{3}\left(\cfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ 이고, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=\cfrac{1}{3}$ 이다.