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본고사

오사카대 2020-2(이과)

후플 2021. 8. 17. 20:57

 

 

 

 

 

 

1개의 주사위를 n번 던질 때, k번 째에 1의 눈이 나오면 Xk=1이라하고, 2의 눈이 나오면 Xk=1, 이외의 눈이 나오면 Xk=0이라 하자.
Yk=cos(π3Xk)+isin(π3Xk)라고 할 때, Y1부터 Yn까지의 곱 Y1Y2YnZn이라 하자. 이때 아래의 문제에 답하시오.

(1) Z2가 실수가 아닐 확률을 구하시오.
(2) Z1, Z2, Z3, , Zn이 모두 실수가 아닐 확률을 구하시오.
(3) Zn이 실수가 될 확률을 pn이라고 하자. pnn으로 나타내고, 극한값 limnpn을 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

우리나라 교육과정에서는 복소평면을 다루지 않아서 사실 이게 뭔가 싶을 것이다. 하지만 이, 공계열로 진학을 생각하는 고등학생들은 대학교에 가서 배우기 전에 아래의 오일러 공식을 한 번 쯤 접해보는게 좋을 것 같다. 

eix=cosx+isinx

본 문제의 풀이에서도 이 공식을 기반으로 하여 Zn을 정리하고 해석하였다.

 

 

 

 

풀이

 


(1)

먼저 Xk=1, Xk=1, Xk=0인 경우의 확률은 각각 16, 16, 46이다. Zn=Y1Y2Y3Yn에서, Zn=cosπ3(X1+X2++Xn)+isinπ3(X1+X2++Xn)() 2X1+X22이므로 Z2가 실수가 아닐 조건은 X1+X20이고, 그러한 (X1,X2)의 순서쌍은 (1,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,0),(0,1)뿐이다. 따라서 구하는 확률은 1616+1646+4616+1616+1646+4616=12이다.

 

 

 

 

 

 

(2)

(1)의 를 생각하자. Zn이 실수가 아니기 위해서는 X1+X2++Xn이 3의 배수가 아니면 충분하다. 이제 Z1, Z2, Z3, , Zn이 모두 실수가 아닐 확률을 qn이라 하자. 먼저 Z1이 실수가 아닐 경우는 X1=1이거나 X1=1인 경우 뿐이므로, q1=16+16=13이다. 다음으로 Zn이 실수가 아닐 때, Zn+1도 실수가 아닐 경우를 생각해보자. Zn이 실수가 아니기 때문에 X1+X2++Xn은 3의 배수가 아니다. 즉 다음의 2가지 경우로 나눌 수 있다.

 

X1+X2++Xn=3k+1 일 때

Xn+1=0 이거나 Xn+1=1 이면 Zn+1도 실수가 아니다. 그 확률은 45+16=56이다.

 

X1+X2++Xn=3k+2 일 때

Xn+1=0 이거나 Xn+1=1 이면 Zn+1도 실수가 아니다. 그 확률은 45+16=56이다.

 

①,②의 어느 경우든 qn+1=56qn이므로, qn=q1(56)n1=13(56)n1

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)
Zn+1이 실수일 경우는 Zn이 실수일 경우와 실수가 아닐 경우로 나누어 생각해보자.

 

Zn이 실수일 때

n+1번 째에 3,4,5,6의 눈이 나와야 하므로 구하는 확률은, pn46=23pn

 

Zn이 실수가 아닐 때

실수가 아닌 Zn이 실수가 되게 할 주사위의 눈은 1,2 중 하나 뿐이므로 구하는 확률은, (1pn)16=16(1pn)

 

①,②에서 pn+1=23pn+16(1pn)=12pn+16 이다. 

여기에 p1=46=23이고, 점화식을 변형하면 pn+113=12(pn13)에서 pn13=(p113)(12)n1=13(12)n1 따라서 pn=13+13(12)n1 이고, limnpn=13 이다.

 

 

 

 

 

 

 

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