오사카대 2020-3(문과)

 

 

 

 

 

$\mathrm{△}ABC$에서 변 $AB$의 길이를 $c$, 변 $CA$의 길이를 $b$라고 하자. $\mathrm{\angle }ACB=3\mathrm{\angle }ABC$이면, $c<3b$임을 보이시오.

 

 

 

 

생각해보기

 

 

문제를 보자마자 사인법칙이 떠오르지 않았다면...정말로 복습이 필요하다! 사인법칙은 우리나라 모의고사에서도 많이 사용되기 때문에 필히 숙지해 두도록 하자. 그리고 풀이에서 사용된 3배각 공식은 요즘 교과외 과정이 되었지만, 배각 공식으로 쉽게 유도되기 때문에 별다른 설명없이 사용하였다.

 

[2020-3(이과) https://huplemath.tistory.com/59에서는 본문제를 일반화시킨 문제가 나왔다.]

 

 

 

 

 

풀이

 

 

$\mathrm{\angle }ABC=\theta$라 하자. 문제의 조건에서 $$\mathrm{\angle }ACB=3\mathrm{\angle }ABC=3\theta$$이고, $\theta +3\theta <\pi$ 에서 $0<\theta <\frac{\pi }{4}$이다.

 

$\mathrm{△}ABC$의 외접원의 반지름을 $R$이라하면, 사인법칙에 의해 

$$\frac{b}{\sin \theta }=\frac{c}{\sin 3\theta }=2R$$이고, $b=2R\sin \theta$, $c=2R\sin 3\theta$이다. 따라서

$$3b-c=2R(3\sin \theta -\sin 3\theta )=2R\{3\sin \theta -(3\sin \theta -4{\sin }^3\theta )\}=8R{\sin }^3\theta$$

$0<\theta <\frac{\pi }{4}$에서 $\sin \theta >0$이므로 $3b-c>0$이 항상 성립하고, 따라서 $c<3b$이다.