오사카대 2020-1(문과)

 

 

 

 

 

 

$a$는 $0 \leq a <2\pi$ 범위의 실수이다. 함수 
$$f(x)=2x^3-(6+3\sin a)x^2+(12\sin a)x+\sin ^3 a +6\sin a +5$$
에 대한 다음 물음에 답하시오.

(1) $f(x)$는 오직 하나의 극댓값 $M(a)$를 가짐을 보이고, 그 때의 극댓값 $M(a)$를 구하시오.
(2) $0 \leq a <2\pi$ 에서 $M(a)$의 최댓값, 최솟값을 구하고, 그 때의 $a$도 각각 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

문과 1번 문제인만큼 굳이 생각할 필요가 없는 교과서적인 문제이다. 계산실수 및 삼각함수의 범위 정도만 잘 숙지해서 증감표를 해석한다면 쉽게 해결이 가능하다.

 

 

 

 

 

풀이

 

 

(1)

 

$f(x)=2x^3 - (6+3\sin a)x^2 +(12\sin a)x+\sin ^3 a+6\sin a +5$를 미분하면, 

$$\begin{align}f'(x)&=6x^2-(12+6\sin a)x+12\sin a\\&=6\{x^2-(2+\sin a)x +2\sin a\}\\&=6(x-2)(x-\sin a)\end{align}$$

이다. 이를 바탕으로 증감표를 그려보면,

$$ \begin{array}{c|ccccc} x& \cdots & \sin a & \cdots& 2 &\cdots \\ \hline f'(x)& + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x)& \nearrow &  & \searrow &  & \nearrow \end{array} $$

 

오직 하나의 극댓값 $M(a)$는, $M(a)=f(\sin a)$임을 알 수 있다.

$$\begin{align} M(a)&=2\sin ^3 a -(6+3\sin a)(\sin ^2 a)+(12\sin ^2 a) +\sin ^3 a +6\sin a +5 \\&=6\sin ^2a +6\sin a+5 \end{align}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

$0 \leq a < 2\pi$에서 $-1 \leq \sin a \leq 1$이고, (1)에서 구한 $M(a)$는

$$M(a) =6\left(\sin a + \cfrac{1}{2}\right) ^2 +\cfrac{7}{2}$$로 변형할 수 있다.

 

따라서 $M(a)$는 $\sin a =1 \left( a=\cfrac{\pi}{2}\right)$일 때, 최댓값 $17$을 가지고, $\sin a = -\cfrac{1}{2} \left(a=\cfrac{7}{6}\pi,\cfrac{11}{6}\pi \right)$일 때, 최솟값 $\cfrac{7}{2}$을 갖는다.