오사카대 2020-1(문과)

 

 

 

 

 

 

$a$는 $0\le a<2\pi$ 범위의 실수이다. 함수 
$$f(x)=2x^3-(6+3\sin a)x^2+(12\sin a)x+{\sin }^{3}a+6\sin a+5$$
에 대한 다음 물음에 답하시오.

(1) $f(x)$는 오직 하나의 극댓값 $M(a)$를 가짐을 보이고, 그 때의 극댓값 $M(a)$를 구하시오.
(2) $0\le a<2\pi$ 에서 $M(a)$의 최댓값, 최솟값을 구하고, 그 때의 $a$도 각각 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

문과 1번 문제인만큼 굳이 생각할 필요가 없는 교과서적인 문제이다. 계산실수 및 삼각함수의 범위 정도만 잘 숙지해서 증감표를 해석한다면 쉽게 해결이 가능하다.

 

 

 

 

 

풀이

 

 

(1)

 

$f(x)=2x^3-(6+3\sin a)x^2+(12\sin a)x+{\sin }^{3}a+6\sin a+5$를 미분하면, 

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =6x^2-(12+6\sin a)x+12\sin a\\ & =6\{x^2-(2+\sin a)x+2\sin a\}\\ & =6(x-2)(x-\sin a)\end{array}$$

이다. 이를 바탕으로 증감표를 그려보면,

$$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & \sin a& \cdots & 2& \cdots \\ f^{\prime }(x)& +& 0& -& 0& +\\ f(x)& \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array}$$

 

오직 하나의 극댓값 $M(a)$는, $M(a)=f(\sin a)$임을 알 수 있다.

$$\begin{array}{rl}M(a)& =2{\sin }^{3}a-(6+3\sin a)({\sin }^{2}a)+(12{\sin }^{2}a)+{\sin }^{3}a+6\sin a+5\\ & =6{\sin }^{2}a+6\sin a+5\end{array}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

$0\le a<2\pi$에서 $-1\le \sin a\le 1$이고, (1)에서 구한 $M(a)$는

$$M(a)=6{(\sin a+\frac{1}{2})}^2+\frac{7}{2}$$로 변형할 수 있다.

 

따라서 $M(a)$는 $\sin a=1(a=\frac{\pi }{2})$일 때, 최댓값 $17$을 가지고, $\sin a=-\frac{1}{2}(a=\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi )$일 때, 최솟값 $\frac{7}{2}$을 갖는다.