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본고사

교토대 2020-6(이과)

후플 2021. 8. 10. 13:40

 

 

 

 

 

xz 평면 상의 곡선 z=log(1+x)(0x1)z축을 축으로 1회전 시킨 곡면을 S라 하자. 이 Sx축을 축으로 1회전 시킨 입체도형을 V라 할 때, V의 부피를 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

혹자는 회전시킨 도형을 다시 한 번 회전시켜서 부피를 구하라고 해서 지레 겁 먹을지도 모르겠다. 요즘 우리나라 고등학교 적분문제들을 봐도 회전체의 부피를 구하는 문제가 확실히 많이 줄어든 것 같아 더 그럴 것 이다.

 

하지만 사실 회전체의 부피를 구하는 문제는, 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면적만 구할 수 있다면 단순 계산이 돼버리는 경우가 많다.

 

필자의 컴퓨터 능력이 좋았다면 3D 애니메이션을 동원해서 회전체의 모습을 보여주고 싶지만, 현재의 필자에게 그건 능력 밖의 일이므로 여러분들의 상상력의 힘을 빌려 이 문제를 풀어보도록 하겠다.

 

 

 

 

 

풀이

 

 

z=log(1+x)z축을 축으로 1회전 시킨 곡면을 생각해보자. 0x1일 때, z=log(1+x)0에서 log2까지의 증가함수이고, 그 곡면은 분수(fountain) 모양이 된다.

 

이제 이 분수 모양의 곡면을 x=t라는 평면으로 자르면 갈매기와  똑같은 모양이 된다. 이때, (t,0,0)에서 가장 가까운 점은 y=0 일 때의 (t,0,log(1+x))이고, 가장 먼 점은 y=±1t2일 때의 (t,±1t2,log2)이다.

 

따라서 Vx=t로 자른 단면은 반지름이 1t2+log2인 원에서 반지름이 log(1+t)인 원을 파낸 모양이 된다. 그에 더해 Vx=0에 대해 대칭인 모양이기 때문에 그 부피는 다음과 같다.

 

V=2π10{(1t2+log2)log(1+t)}dt=2π[t13t3+tlog2(1+t)log(1+t)+(1+t)]10=2π(23+log22log2+1)=103π2πlog2

 

 

 

 

 

 

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