교토대 2020-6(이과)

 

 

 

 

 

$xz$ 평면 상의 곡선 $$z= \sqrt{\log(1+x)} \quad (0 \leq x\leq 1)$$을 $z$축을 축으로 1회전 시킨 곡면을 $S$라 하자. 이 $S$를 $x$축을 축으로 1회전 시킨 입체도형을 $V$라 할 때, $V$의 부피를 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

혹자는 회전시킨 도형을 다시 한 번 회전시켜서 부피를 구하라고 해서 지레 겁 먹을지도 모르겠다. 요즘 우리나라 고등학교 적분문제들을 봐도 회전체의 부피를 구하는 문제가 확실히 많이 줄어든 것 같아 더 그럴 것 이다.

 

하지만 사실 회전체의 부피를 구하는 문제는, 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면적만 구할 수 있다면 단순 계산이 돼버리는 경우가 많다.

 

필자의 컴퓨터 능력이 좋았다면 3D 애니메이션을 동원해서 회전체의 모습을 보여주고 싶지만, 현재의 필자에게 그건 능력 밖의 일이므로 여러분들의 상상력의 힘을 빌려 이 문제를 풀어보도록 하겠다.

 

 

 

 

 

풀이

 

 

$z=\sqrt{\log(1+x)}$을 $z$축을 축으로 1회전 시킨 곡면을 생각해보자. $0 \leq x \leq 1$일 때, $z=\sqrt{\log(1+x)}$는 $0$에서 $\sqrt{\log2}$까지의 증가함수이고, 그 곡면은 분수(fountain) 모양이 된다.

 

이제 이 분수 모양의 곡면을 $x=t$라는 평면으로 자르면 갈매기와  똑같은 모양이 된다. 이때, $(t,0,0)$에서 가장 가까운 점은 $y=0$ 일 때의 $(t, 0, \sqrt{\log(1+x)})$이고, 가장 먼 점은 $y=\pm\sqrt{1-t^2}$일 때의 $(t, \pm \sqrt{1-t^2}, \sqrt{\log2})$이다.

 

따라서 $V$를 $x=t$로 자른 단면은 반지름이 $\sqrt{1-t^2+\log2}$인 원에서 반지름이 $\sqrt{\log(1+t)}$인 원을 파낸 모양이 된다. 그에 더해 $V$는 $x=0$에 대해 대칭인 모양이기 때문에 그 부피는 다음과 같다.

 

$$\begin{align} V&=2\pi \int_0^1 \{ (1-t^2 + \log 2) -\log(1+t)\}dt\\&=2\pi \left[ t-\cfrac{1}{3}t^3 +t\log2-(1+t)\log(1+t)+(1+t)\right]_0^1\\&=2\pi\left(\cfrac{2}{3}+\log2-2\log2+1\right)\\&=\cfrac{10}{3}\pi-2\pi\log2 \end{align} $$