교토대 2020-4(이과)

 

 

 

 

 

양의 정수 $a$가 $$a=3^bc \qquad \text{($b$, $c$는 정수이고 $c$는 3으로 나누어떨어지지 않는다.)}$$의 꼴일 때, $B(a)=b$라 정의하자.  예를 들어, $B(3^2\cdot5)=2$이다.


이제 다음 두 조건을 만족하는 정수쌍 $(m, n)$에 대하여

          ① $1 \leq m, n \leq 30$
          ② $n$은 3으로 나누어떨이지지 않는다.

$$f(m,n)=m^3 +n^2 +n+3$$
라 할 때, $$A(m,n)=B(f(m,n))$$
의 최댓값을 구하시오. 또 $A(m,n)$이 최댓값을 가질 때의 순서쌍 $(m,n)$을 모두 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

$B(a)$는 $a$를 소인수분해 하였을 때 나오는 3의 개수를 묻는 함수이다. 귀찮은 문제가 되겠지만, 3으로 나눈 나머지에 따라 케이스를 나누어 풀 수 밖에 없을 것 같다.

 

 

 

 

 

풀이

 

이 문제는 $f(m,n)$을 3으로 최대 몇 번이나 나눌 수 있냐는 문제이다. 문제의 가정에서 $n$은 3의 배수가 아니므로 2가지 경우로 나누어 문제를 풀어보자.

 

 

① $n$을 3으로 나눈 나머지가 1인 경우

 

$n=3b+1$ $( b = 0, 1, 2, \cdots , 9)$ 로 쓸 수 있고, 이때, $$n^2+n+3=(3b+1)^2+(3b+1)+3=9b^2+9b+6$$ 가 되어 9의 배수가 아닌 3의 배수이다. $m^3$은 27의 배수이거나 3의 배수가 아니기 때문에, 이 경우 $A(m,n)$의 최댓값은 1이다.

 

 

 

② $n$을 3으로 나눈 나머지가 2인 경우

 

$n=3b-1$ $( b = 1, 2, 3, \cdots , 10)$ 로 쓸 수 있고, 이 때, $$n^2+n+3=(3b-1)^2+(3b-1)+3=9b^2-3b+3$$ 가 되어 3의 배수이다. 그리고 $f(m,n)$이 3의 배수가 되려면 $m$도 3의 배수이어야 하므로 $m=3a$라 하자 $(a = 1, 2, 3, \cdots , 10)$. 

 

이제 $f(m,n) = 27a^3+9b^2-3b+3$ 이 9의 배수가 되려면, $b-1$이 3의 배수이어야 한다. 따라서 최댓값을 가지기 위해 $b=3c+1$ $(c=0, 1, 2, 3)$로 둘 수 있다. 대입해보면, $$\begin{align} f(m,n)&=27a^3+9b^2-3b+3\\&=27a^3+9(3c+1)^2-3(3c+1)+3\\&=27a^3+9(9c^2+6c+1)-9c-3+3\\&=27a^3+9(9c^2+5c+1)\end{align}$$가 된다.

 

$c= 0, 1, 2, 3$ 중에서 $9c^2+5c+1$이 3의 배수가 되는 경우는 $c=1$일 때 뿐이다. 즉, $c=1$에서 $A(m,n)$은 최댓값을 가진다.

 

위의 식에 $c=1$을 대입하면, $$f(m,n)=27a^3+135=27(a^3+5)$$이다. $a^3+5$는 $a$를 3으로 나눈 나머지가 1일 때에만 3의 배수가 되고, 이때, $$(3x+1)^3+5=27x^3+27x^2+9x+6$$이므로 9의 배수는 될 수 없다.

 

 

지금까지 결과를 정리하면 $c=1$, $a= 1, 4, 7, 10$일 때, $f(m,n)$은 81의 배수이고, 243의 배수는 아니다. 이외의 경우에는 81의 배수조차 되지 못한다.

 

그리고 최대가 될 때의 $m, n$을 구해보면, $c=1$일 때 $b=3c+1=4$이고, $n=3b-1=11$이다. 또 $m=3a$에서 $m = 3, 12, 21, 30$이다.

 

 

이상의 ①, ②로 부터 $A(m,n)$의 최댓값은 4이고 그 때의 순서쌍 $(m, n)$은 $(3, 11)$, $(12, 11)$, $(3, 11)$, $(3, 11)$의 4쌍 뿐이다.