교토대 2020-4(문과) (이과3)

 

 

 

 

원점 $O$를 중심으로 하고 반지름이 1인 구 위의 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 다음의 관계식을 만족한다.

$$\begin{align}&\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=\cfrac{1}{2}\\&\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=-\cfrac{\sqrt 6}{4}\\&\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}=k \end{align}$$

이 때 양의 실수 $k$의 값을 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

공간도형, 공간벡터 문제는 무작정 좌표를 잡으면서 푸는 시도를 하기 전에, 먼저 문제를 평면화해서 풀 순 없는지를 꼭 한 번 생각해 봐야 한다. 평면화하는 훈련이 아주 중요하다!

이 문제는 주어진 조건이 아주 많은데 일단 $\triangle OAB$가 정삼각형인 것, $\angle AOC = \angle BOC$, 그리고 $\angle AOD = \angle BOD$ 임을 이용하면 $AB$의 중점 $M$과 점 $C$, 점 $D$가 동일 평면 위에 있음을 알 수 있다. 이 후에는 한 평면 위에 있는 네 점 $O$, $C$, $D$, $M$에 대한 문제가 된다. 

 

 

 

 

풀이

 

첫 번째 관계식에서 $\triangle OAB$, $\triangle OCD$는 정삼각형이다.

두 번째 관계식에서 $\triangle OAC$, $\triangle OBC$는 합동이다. 따라서 선분 $AB$를 수직이등분하는 평면 위에 점 $C$가 있음을 알 수 있다.  이 평면을 $\alpha$라고 하자. 

같은 센스로 세 번째 관계식에서 점 $D$ 역시 평면 $\alpha$ 위에 있음을 알 수 있다.

 

 

선분 $AB$의 중점을 $M$이라 하면, $OM$의 길이는 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 높이인 $\cfrac{\sqrt3}{2}$이다. 또, $$\overrightarrow{OM} = \cfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$$ 에서 점 $M$ 역시 평면 $\alpha$ 위에 있음을 알 수 있다. 

 

 

이 때, $$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OC}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=-\cfrac{\sqrt 6}{4}$$ 이고, $$\cos \angle COM = -\cfrac{\sqrt 6}{4}\cdot \cfrac{2}{\sqrt 3}=-\cfrac{\sqrt 2}{2}$$ 에서 $\angle COM = 135^\circ$ 이다.

 

 

또, $$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OD}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}= k$$ 이다. 

 

$\angle COD = 60^\circ$ 에서 $\angle DOM = 75^\circ$이고, 

$$\begin{align} k&=\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OD}\\&=\cfrac{\sqrt3}{2}\cos 75^\circ\\&=\cfrac{\sqrt3}{2}\left(\cfrac{\sqrt2}{2}\cdot\cfrac{\sqrt3}{2}-\cfrac{\sqrt2}{2}\cdot\cfrac{1}{2}\right)\\&=\cfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{8}\end{align}$$