교토대 2020-4(문과) (이과3)

 

 

 

 

원점 $O$를 중심으로 하고 반지름이 1인 구 위의 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 다음의 관계식을 만족한다.

$$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\\ & \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=-\frac{\sqrt{6}}{4}\\ & \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OD}=k\end{array}$$

이 때 양의 실수 $k$의 값을 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

공간도형, 공간벡터 문제는 무작정 좌표를 잡으면서 푸는 시도를 하기 전에, 먼저 문제를 평면화해서 풀 순 없는지를 꼭 한 번 생각해 봐야 한다. 평면화하는 훈련이 아주 중요하다!

이 문제는 주어진 조건이 아주 많은데 일단 $\mathrm{△}OAB$가 정삼각형인 것, $\mathrm{\angle }AOC=\mathrm{\angle }BOC$, 그리고 $\mathrm{\angle }AOD=\mathrm{\angle }BOD$ 임을 이용하면 $AB$의 중점 $M$과 점 $C$, 점 $D$가 동일 평면 위에 있음을 알 수 있다. 이 후에는 한 평면 위에 있는 네 점 $O$, $C$, $D$, $M$에 대한 문제가 된다. 

 

 

 

 

풀이

 

첫 번째 관계식에서 $\mathrm{△}OAB$, $\mathrm{△}OCD$는 정삼각형이다.

두 번째 관계식에서 $\mathrm{△}OAC$, $\mathrm{△}OBC$는 합동이다. 따라서 선분 $AB$를 수직이등분하는 평면 위에 점 $C$가 있음을 알 수 있다.  이 평면을 $\alpha$라고 하자. 

같은 센스로 세 번째 관계식에서 점 $D$ 역시 평면 $\alpha$ 위에 있음을 알 수 있다.

 

 

선분 $AB$의 중점을 $M$이라 하면, $OM$의 길이는 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 높이인 $\frac{\sqrt{3}}{2}$이다. 또, $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$$ 에서 점 $M$ 역시 평면 $\alpha$ 위에 있음을 알 수 있다. 

 

 

이 때, $$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$ 이고, $$\cos \mathrm{\angle }COM=-\frac{\sqrt{6}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 에서 $\mathrm{\angle }COM={135}^{\circ }$ 이다.

 

 

또, $$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OD}=k$$ 이다. 

 

$\mathrm{\angle }COD={60}^{\circ }$ 에서 $\mathrm{\angle }DOM={75}^{\circ }$이고, 

$$\begin{array}{rl}k& =\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OD}\\ & =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos {75}^{\circ }\\ & =\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})\\ & =\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}\end{array}$$