교토대 2020-1(이과)

 

 

 

 

 

실수 $a, b$와 $z$에 대한 다음의 방정식 
$$z^3 +3az^2 +bz +1 =0 \qquad (\star)$$
의 서로 다른 세 근이 복소평면 상에서 한 변의 길이가 $\sqrt 3 a$인 정삼각형을 이룬다. 이때, $a, b$와 $(\star)$의 세 근을 모두 구하시오. 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

고등수학 (상)의 내용으로부터 $(\star)$는 실수 계수의 3차 방정식이기 때문에 반드시 실근이 존재한다. 그리고 나머지 두 근은 문제의 조건을 부터 켤레복소수일 수 밖에 없다. 따라서 처음 세 근을 $\alpha , \beta , \gamma$가 아닌 $\alpha , \beta , \bar{\beta}$로 두고 시작할 수 있다.

 

 

 

 

 

풀이

 

$(\star)$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\bar{\beta}$라 하자. ($\alpha$는 실수, $\beta$는 실수가 아닌 복소수이다.)

 

 

근과 계수와의 관계에서 $$\cfrac{\alpha +\beta + \bar{\beta}}{3}=-a$$ 이므로, 정삼각형의 중심에 해당하는 복소수는 $-a$이다. 또, 정삼각형의 한 변의 길이가 $\sqrt 3 a$로 주어졌기 때문에, 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 $a$임을 알 수 있다. 따라서 정삼각형의 각 꼭짓점은 중심이 $-a$이고 반지름이 $a$인 원 위에 있다. 이 원 위에서 실수인 점은 $0, -2a$가 있는데, $z=0$은 $(\star)$의 해가 될 수 없기 때문에 $\alpha = -2a$이다. 따라서 정삼각형을 머릿속에 그려보면 $\beta = -\cfrac{1}{2}a+\cfrac{\sqrt 3}{2}ai$임을 알 수 있다.

 

 

이제 근과 계수와의 관계로 부터 답을 구해보자.

 

$$\begin{align} &\alpha\beta\bar{\beta}=-1 \\&-2a\cdot a^2 =-1\\&a^3=\cfrac{1}{2} \end{align}$$

$a$는 양의 실수이므로, $a=\cfrac{1}{\sqrt[3]2}$이다. ($a$는 길이이므로 양수)

 

따라서 $(\star)$의 세 근은, $-\sqrt[3]4$, $-\cfrac{\sqrt[3]4}{4}(1 \pm \sqrt3 i)$이다. 

 

 

마지막으로 한 번 더 근과 계수와의 관계로 부터 $b$를 구하면,

 

$$\begin{align} b&=\alpha\beta+\alpha\bar{\beta}+\beta\bar{\beta}\\&=-2a \times (-a)+a^2\\&=3a^2\\&=\cfrac{3}{\sqrt[3]4}\end{align}$$이다.

 

 

이상으로 정리하면, $a=\cfrac{1}{\sqrt[3]2}$, $b=\cfrac{3}{\sqrt[3]4}$, $(\star)$의 근은 $z=-\sqrt[3]4, -\cfrac{\sqrt[3]4}{4}(1 \pm \sqrt3 i)$이다.