교토대 2020-1(이과)

 

 

 

 

 

실수 $a,b$와 $z$에 대한 다음의 방정식 
$$z^3+3a{z}^2+bz+1=0(\star )$$
의 서로 다른 세 근이 복소평면 상에서 한 변의 길이가 $\sqrt{3}a$인 정삼각형을 이룬다. 이때, $a,b$와 $(\star )$의 세 근을 모두 구하시오. 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

고등수학 (상)의 내용으로부터 $(\star )$는 실수 계수의 3차 방정식이기 때문에 반드시 실근이 존재한다. 그리고 나머지 두 근은 문제의 조건을 부터 켤레복소수일 수 밖에 없다. 따라서 처음 세 근을 $\alpha ,\beta ,\gamma$가 아닌 $\alpha ,\beta ,\overline{\beta }$로 두고 시작할 수 있다.

 

 

 

 

 

풀이

 

$(\star )$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\overline{\beta }$라 하자. ($\alpha$는 실수, $\beta$는 실수가 아닌 복소수이다.)

 

 

근과 계수와의 관계에서 $$\frac{\alpha +\beta +\overline{\beta }}{3}=-a$$ 이므로, 정삼각형의 중심에 해당하는 복소수는 $-a$이다. 또, 정삼각형의 한 변의 길이가 $\sqrt{3}a$로 주어졌기 때문에, 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 $a$임을 알 수 있다. 따라서 정삼각형의 각 꼭짓점은 중심이 $-a$이고 반지름이 $a$인 원 위에 있다. 이 원 위에서 실수인 점은 $0,-2a$가 있는데, $z=0$은 $(\star )$의 해가 될 수 없기 때문에 $\alpha =-2a$이다. 따라서 정삼각형을 머릿속에 그려보면 $\beta =-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}ai$임을 알 수 있다.

 

 

이제 근과 계수와의 관계로 부터 답을 구해보자.

 

$$\begin{array}{rl}& \alpha \beta \overline{\beta }=-1\\ & -2a\cdot a^2=-1\\ & a^3=\frac{1}{2}\end{array}$$

$a$는 양의 실수이므로, $a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$이다. ($a$는 길이이므로 양수)

 

따라서 $(\star )$의 세 근은, $-\sqrt[3]{4}$, $-\frac{\sqrt[3]{4}}{4}(1\pm \sqrt{3}i)$이다. 

 

 

마지막으로 한 번 더 근과 계수와의 관계로 부터 $b$를 구하면,

 

$$\begin{array}{rl}b& =\alpha \beta +\alpha \overline{\beta }+\beta \overline{\beta }\\ & =-2a\times (-a)+a^2\\ & =3a^2\\ & =\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\end{array}$$이다.

 

 

이상으로 정리하면, $a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$, $b=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$, $(\star )$의 근은 $z=-\sqrt[3]{4},-\frac{\sqrt[3]{4}}{4}(1\pm \sqrt{3}i)$이다.