교토대 2020-2(이과)

 

 

 

 

 

 

양의 정수 $p$에 대해 다음의 방정식 $x^2 -2px-1=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하자. $|\alpha|>1$라 할 때, 다음 물음에 답하여라.

(1)  모든 양의 정수 $n$에 대해, $\alpha ^n +\beta ^n$는 짝수임을 증명하시오.

(2) $\displaystyle \lim _{n \to \infty} (-\alpha)^n \sin (\alpha ^n \pi)$를 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

(1) 같은 경우는 귀납법을 써서 증명하자는 생각만 할 수 있다면, 간단히 식을 변형하며 증명해낼 수 있다.

 

진짜 문제는 (2)이다. 분명 문제의 가정에서 $|\alpha| >1$이라 했는데, 그러면 $\alpha ^n$는 무한대로 발산할 것이고, $\sin$과 곱한다고 해서 특정 값으로 수렴할 것이라고 생각하는 것이 어렵다.

 

따라서 당연히 (1)의 결과를 사용해야 하는데, 굳이 $\alpha ^n +\beta ^n$이 정수가 아닌 짝수임을 증명하라 하였으므로, 그 사실을 사용해야 할 것이다! (그래도 생각하기가 쉽지 않다...)

 

 

 

 

 

풀이

 

(1) 

 

$x^2-2px-1=0$의 근은 $x=p \pm \sqrt{p^2+1}$이다. 여기서 $|p+ \sqrt{p^2+1}|>1$이고, $$\left|p- \sqrt{p^2+1}\right|= \cfrac{1}{p+ \sqrt{p^2+1}}<1$$이므로, $\alpha= p + \sqrt{p^2+1}$, $\beta= p - \sqrt{p^2+1}$이다.

 

이제 수학적 귀납법을 이용하여 $\alpha ^n +\beta ^n$가 짝수임을 증명하자.

 

 

① $n = 1$

 

$\alpha^1 + \beta^1=2p$ 이므로, 짝수이다.

 

② $n = 2$

 

$\alpha^2 +\beta ^2 = 4p^2 +2$ 이므로, 짝수이다.

 

③ 2이상의 정수 $k$에 대해 $n=k, k-1$에서 $\alpha^n + \beta^n$이 짝수라고 가정하자. $n=k+1$일 때, $$\alpha^{k+1}+\beta^{k+1}=(\alpha^k +\beta^k)(\alpha +\beta)-\alpha \beta(\alpha^{k-1}+\beta^{k-1})$$로 표현할 수 있고, 가정에 의해 $\alpha^k +\beta^k$, $\alpha^{k-1} +\beta^{k-1}$가 짝수이고, ①에 의해 $\alpha + \beta$도 짝수이다. $\alpha \beta=-1$이므로, $\alpha^{k+1}+\beta^{k+1}$도 짝수가 된다.

 

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 정수 $n$에 대해 $\alpha^n+\beta^n$은 짝수임이 증명되었다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

근과 계수와의 관계에서 $\alpha \beta=-1$이고, (1)에서 $\alpha ^n + \beta ^n$은 짝수였기 때문에 $$\begin{align} &(-\alpha)^n \sin (\alpha ^n \pi)\\=&\left(\cfrac{1}{\beta}\right)^n \sin \{(\alpha^n + \beta^n)\pi-\beta^n \pi \}\\=&\cfrac{\sin(-\beta^n\pi)}{\beta^n}\\=&\cfrac{\sin(-\beta^n\pi)}{-\beta^n \pi}\cdot (-\pi) \end{align}$$

 

로 변형시킬 수 있다. $|\beta|<1$이므로 $n \to \infty$ 일 때 $\beta ^n \to 0$이고 극한값은 $-\pi$로 수렴한다. 따라서 $$\lim _{n \to \infty} (-\alpha)^n \sin (\alpha ^n \pi)=-\pi$$이다.