교토대 2020-2(이과)

 

 

 

 

 

 

양의 정수 $p$에 대해 다음의 방정식 $x^2-2px-1=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하자. $|\alpha |>1$라 할 때, 다음 물음에 답하여라.

(1)  모든 양의 정수 $n$에 대해, ${\alpha }^n+{\beta }^n$는 짝수임을 증명하시오.

(2) ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\alpha {)}^n\sin ({\alpha }^n\pi )}$를 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

(1) 같은 경우는 귀납법을 써서 증명하자는 생각만 할 수 있다면, 간단히 식을 변형하며 증명해낼 수 있다.

 

진짜 문제는 (2)이다. 분명 문제의 가정에서 $|\alpha |>1$이라 했는데, 그러면 ${\alpha }^n$는 무한대로 발산할 것이고, $\sin$과 곱한다고 해서 특정 값으로 수렴할 것이라고 생각하는 것이 어렵다.

 

따라서 당연히 (1)의 결과를 사용해야 하는데, 굳이 ${\alpha }^n+{\beta }^n$이 정수가 아닌 짝수임을 증명하라 하였으므로, 그 사실을 사용해야 할 것이다! (그래도 생각하기가 쉽지 않다...)

 

 

 

 

 

풀이

 

(1) 

 

$x^2-2px-1=0$의 근은 $x=p\pm \sqrt{p^2+1}$이다. 여기서 $|p+\sqrt{p^2+1}|>1$이고, $$|p-\sqrt{p^2+1}|=\frac{1}{p+\sqrt{p^2+1}}<1$$이므로, $\alpha =p+\sqrt{p^2+1}$, $\beta =p-\sqrt{p^2+1}$이다.

 

이제 수학적 귀납법을 이용하여 ${\alpha }^n+{\beta }^n$가 짝수임을 증명하자.

 

 

① $n=1$

 

${\alpha }^1+{\beta }^1=2p$ 이므로, 짝수이다.

 

② $n=2$

 

${\alpha }^2+{\beta }^2=4p^2+2$ 이므로, 짝수이다.

 

③ 2이상의 정수 $k$에 대해 $n=k,k-1$에서 ${\alpha }^n+{\beta }^n$이 짝수라고 가정하자. $n=k+1$일 때, $${\alpha }^{k+1}+{\beta }^{k+1}=({\alpha }^k+{\beta }^k)(\alpha +\beta )-\alpha \beta ({\alpha }^{k-1}+{\beta }^{k-1})$$로 표현할 수 있고, 가정에 의해 ${\alpha }^k+{\beta }^k$, ${\alpha }^{k-1}+{\beta }^{k-1}$가 짝수이고, ①에 의해 $\alpha +\beta$도 짝수이다. $\alpha \beta =-1$이므로, ${\alpha }^{k+1}+{\beta }^{k+1}$도 짝수가 된다.

 

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 정수 $n$에 대해 ${\alpha }^n+{\beta }^n$은 짝수임이 증명되었다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

근과 계수와의 관계에서 $\alpha \beta =-1$이고, (1)에서 ${\alpha }^n+{\beta }^n$은 짝수였기 때문에 $$\begin{array}{rl}& (-\alpha {)}^n\sin ({\alpha }^n\pi )\\ =& {\left(\frac{1}{\beta }\right)}^n\sin \{({\alpha }^n+{\beta }^n)\pi -{\beta }^n\pi \}\\ =& \frac{\sin (-{\beta }^n\pi )}{{\beta }^n}\\ =& \frac{\sin (-{\beta }^n\pi )}{-{\beta }^n\pi }\cdot (-\pi )\end{array}$$

 

로 변형시킬 수 있다. $|\beta |<1$이므로 $n\to \mathrm{\infty }$ 일 때 ${\beta }^n\to 0$이고 극한값은 $-\pi$로 수렴한다. 따라서 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\alpha {)}^n\sin ({\alpha }^n\pi )=-\pi$$이다.