후플 Math

(i) 양의 정수 $k$에 대해, $A_k$를 다음 정적분의 값으로 정의하자. $$A_k =\int^{\sqrt{(k+1)\pi}}_{\sqrt{k\pi}}|\sin(x^2)|dx$$ 이때, 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $$\cfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leq A_k \leq \cfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$$ (ii) 양의 정수 $n$에 대해, $B_n$을 다음 정적분의 값으로 정의하자. $$B_n=\cfrac{1}{\sqrt n}\int^{\sqrt{2n\pi}}_{\sqrt{n\pi}}|\sin(x^2)|dx$$ 이때, $\lim\limits_{n \to \infty}B_n$을 구하시오. 생각해보기 (i)은 먼저 적절한 치환적분을 통해 주어진 정적분의 형태를 바꿔야..

좌표평면 위의 곡선 $y=3x^2-4x$를 $C$, 직선 $y=2x$를 $l$이라 하자. 실수 $t$에 대해, 포물선 $C$ 위의 점 $P(t,3t^2-4t)$에서 직선 $l$까지의 거리를 $f(t)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (i) 실수 $a$의 범위가 $-1 \leq a \leq 2$일 때, 다음 정적분을 구하시오. $$g(A)= \int^a_{-1}f(t)dt$$ (ii) 실수 $a$의 범위가 $0 \leq a \leq 2$일 때, $g(a)-f(a)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. 생각해보기 '거리'와 같은 물리량은 항상 양수라는 사실을 인지하고 있어야합니다. 그에 따라 미지수의 범위를 잘 나눠주기만 한다면 크게 어려운 문항은 아닙니다. 풀이 (i) 점 $P$에서 직선 $ l : 2x-..

다음의 정적분을 계산하시오. $$\int ^1 _0 \left( x^2 +\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx$$ 생각해보기 어짜피 전개를 하지 않고는 다음 단계로 나아갈 수 없다. 전개 후에는 각 항 별로 따로 적분할 수 있다. 물론 적절히 치환적분을 사용해야 되지만, 그 방법이 전형적이다. 풀이 $$\begin{align}&\int ^1 _0 \left( x^2 +\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx\\=& \int ^1 _0 \left(x^2 + \cfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^..

좌표평면에서 점 $A(2,2)$를 지나고 선분 $OA$에 수직인 직선을 $l$이라고 하자. 점 $P(p,q)$가 다음의 두 조건을 만족시키면서 움직인다. 조건 1 : $8\leq \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP} \leq 17$ 조건 2 : 점 $O$와 직선 $l$의 거리를 $c$, 점 $P(p,q)$와 직선 $l$의 거리를 $d$라고 할 때, $cd \geq (p-1)^2$ 이때, $P$가 움직인 영역을 $D$, $x$축의 양의 방향과 선분 $OP$가 이루는 각도를 $\theta$라 하자. (1) $D$를 나타내고, 그 넓이를 구하여라. (2) $\cos \theta$의 범위를 구하여라. 생각해보기 문제가 길긴하지만, 각각의 조건이 주는 식 자체는 간단하다..

곡선 $C:y=|x|x-3x+1$와 직선 $l:y=x+a$의 그래프가 접하게 되는 음의 실수 $a$의 값을 구하시오. 그리고 이 때, $C$와 $l$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. 생각해보기 루트가 들어가는 마지막 적분 계산 실수 정도만 하지 않는다면, 무난히 풀 수 있는 문제일 것이다. 풀이 $x \geq 0$ 일 때, $y=x^2-3x+1=\left(x- \cfrac{3}{2}\right)^2- \cfrac{5}{4}$ $x < 0$ 일 때, $y=-x^2-3x+1=-\left(x+ \cfrac{3}{2}\right)^2+ \cfrac{13}{4}$ 이므로 그래프를 그려보면 아래와 같다. $a$가 음수이기 때문에 $l$이 접하는 함수는 $x \geq 0$일 때의 함수이다. $y=x^2-3x+1$..

자연수 $n$과 $t \geq 1$인 실수 $t$에 대해 다음 물음에 답하시오. 1) $x \geq t$ 일 때 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $$-\cfrac{(x-t)^2}{2} \leq \log x - \log t - \cfrac{1}{t}(x-t) \leq 0$$ 2) 다음 부등식이 성립함을 보여라. $$- \cfrac{1}{6n^3} \leq \int_{t}^{t+ \frac{1}{n}}\log x dx - \cfrac{1}{n}\log t - \cfrac{1}{2tn^2}\leq 0$$ 3) $$a_n= \sum_{k=0}^{n-1}\log \left( 1+\cfrac{k}{n}\right)$$ 일 때, $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(a_n -pn)=q$..

정수 $a, b, c$에 대한 다음 조건(*)이 주어져 있다. $$\int_a^c (x^2+bx)dx=\int_b^c (x^2+ax)dx \quad (*)$$ 1) 정수 $a, b, c$가 조건 (*)를 만족하고 $a \neq b$이면 $c$는 3의 배수임을 보여라. 2) $c=3600$ 일 때, 조건 (*)와 $a

다음 정적분을 계산하시오. $$\int_{-1}^{1}\left|x^2- \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right|dx$$ 생각해보기) 생각해보고 자시고가 없다. 절댓값을 없애기 위해 범위 나누고 적분하면 된다는 걸 모두가 알고 있을 것. 풀이) $x^2-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{1}{2} = \cfrac{1}{2}(2x+1)(x-1)$로 인수분해 되어 피적분함수가 $-\cfrac{1}{2}