교토대 2021-2(문과)

 

 

 

다음 정적분을 계산하시오.

$${\int }_{-1}^1|x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}|dx$$

 

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생각해보기)

 

생각해보고 자시고가 없다. 절댓값을 없애기 위해 범위 나누고 적분하면 된다는 걸 모두가 알고 있을 것.

 

 

풀이)

 

$x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2x+1)(x-1)$로 인수분해 되어 피적분함수가 $-\frac{1}{2}<x<1$에서 음수임을 알 수 있다.

 

${\displaystyle {\int }_{-1}^1|x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}|dx}$

=${\displaystyle {\int }_{-1}^{-1/2}(x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})dx-{\displaystyle {\int }_{-1/2}^1(x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})dx}}$

=${[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}]}_{-1}^{-1/2}-{[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}]}_{-1/2}^1=\frac{19}{24}$