도쿄대 2020-3(문과)

 

 

 

좌표평면 위의 포물선 $y=x^2-2x+4$ 에 대해 $ x \geq 0 $인 부분을 $C$라고 하자.

 

(1) 점 $P$가 $C$위의 동점일 때, 반직선 $OP$가 지나는 영역을 그리시오.

(2) 직선 $l : y=ax $에 대해 다음 조건을 만족하는 실수 $a$의 범위를 구하여라.

 

조건 : $C$위의 점 $A$와 $l$위의 점 $B$와 원점 $O$가 정삼각형을 이루는 경우가 있다.

 

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생각해보기)

 

정삼각형이 되려면 세 변 혹은 세 각이 같음을 보여야한다. 그런데 지금 우리가 가진 $B$라는 점은 직선 $y=ax$위의 점이기 때문에 길이 문제로 부터 자유롭다! ( 원하는길이를 선택할 수 있음) 그러니까 두 반직선 $OA$, $OB$가 이루는 각도만 $60^{\circ}$가 되도록 문제를 세팅해서 풀면 된다.

 

 

풀이)

 

(1)

 

$y=x^2-2x+4$ 와 $y=ax$가 접하는 $a$의 값을 구하면 된다. 연립해서 판별식 $D=0$을 적용하면 $a=2,-6$이 나온다. 우리는  $ x \geq 0 $인 부분만 고려하고 있기 때문에 접선의 방정식은 $y=2x$이고 반직선 $OP$가 지나는 영역은 아래와 같다.

 

 

(2)

 

$x$축 양의 방향과 반직선 $OA$가 이루는 각도를 $\theta$라 하자. 이 때 점 $O$를 중심으로하고 $A$를 $60^{\circ}$만큼 회전시킨 점이 $B$이면 세 점 $O, A, B$는 정삼각형을 이룬다. (1)에서 $C$에 접하는 직선의 기울기가 2인 것을 구했는데, 그 직선과 $x$축이 이루는 각도 $\alpha$를 $\tan \alpha=2$를 만족시키는 값으로 정의하자. 이제 우리는 $\alpha \leq \theta \leq \cfrac{\pi}{2}$ 를 얻게되고 이를 이용하면 $x$축과 반직선 $OB$가 이루는 각도 $\beta$ 는 $ \alpha - \cfrac{\pi}{3} \leq \beta \leq \cfrac{\pi}{6}$ $\quad or \quad$ $ \alpha + \cfrac{\pi}{3} \leq \beta \leq \cfrac{5}{6}\pi$ 임을 알 수 있다. 우리가 구하는 $a$ 는 $\tan \beta$임을 상기하자.

$$\tan(\alpha - \cfrac{\pi}{3}) =  \cfrac{\tan \alpha - \tan {\cfrac{\pi}{3}}}{1+\tan \alpha \tan{\cfrac{\pi}{3}}} = \cfrac{2-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}=\cfrac{-8+5\sqrt{3}}{11}$$

$$\tan(\alpha + \cfrac{\pi}{3}) =  \cfrac{\tan \alpha + \tan {\cfrac{\pi}{3}}}{1-\tan \alpha \tan{\cfrac{\pi}{3}}} = \cfrac{2+\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}}=\cfrac{-8-5\sqrt{3}}{11}$$

 

$$\therefore \cfrac{-8+5\sqrt{3}}{11} \leq a \leq \cfrac{1}{\sqrt3},\quad \cfrac{-8-5\sqrt{3}}{11} \leq a\leq -\cfrac{1}{\sqrt3}$$