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본고사

도쿄대 2020-3(문과)

후플 2021. 5. 18. 14:23

 

 

 

좌표평면 위의 포물선 y=x22x+4 에 대해 x0인 부분을 C라고 하자.

 

(1) 점 PC위의 동점일 때, 반직선 OP가 지나는 영역을 그리시오.

(2) 직선 l:y=ax에 대해 다음 조건을 만족하는 실수 a의 범위를 구하여라.

 

조건 : C위의 점 Al위의 점 B와 원점 O가 정삼각형을 이루는 경우가 있다.

 


 

생각해보기)

 

정삼각형이 되려면 세 변 혹은 세 각이 같음을 보여야한다. 그런데 지금 우리가 가진 B라는 점은 직선 y=ax위의 점이기 때문에 길이 문제로 부터 자유롭다! ( 원하는길이를 선택할 수 있음) 그러니까 두 반직선 OA, OB가 이루는 각도만 60가 되도록 문제를 세팅해서 풀면 된다.

 

 

풀이)

 

(1)

 

y=x22x+4y=ax가 접하는 a의 값을 구하면 된다. 연립해서 판별식 D=0을 적용하면 a=2,6이 나온다. 우리는  x0인 부분만 고려하고 있기 때문에 접선의 방정식은 y=2x이고 반직선 OP가 지나는 영역은 아래와 같다.

 

 

(2)

 

x축 양의 방향과 반직선 OA가 이루는 각도를 θ라 하자. 이 때 점 O를 중심으로하고 A60만큼 회전시킨 점이 B이면 세 점 O,A,B는 정삼각형을 이룬다. (1)에서 C에 접하는 직선의 기울기가 2인 것을 구했는데, 그 직선과 x축이 이루는 각도 αtanα=2를 만족시키는 값으로 정의하자. 이제 우리는 αθπ2 를 얻게되고 이를 이용하면 x축과 반직선 OB가 이루는 각도 βαπ3βπ6 or α+π3β56π 임을 알 수 있다. 우리가 구하는 atanβ임을 상기하자.

tan(απ3)=tanαtanπ31+tanαtanπ3=231+23=8+5311

tan(α+π3)=tanα+tanπ31tanαtanπ3=2+3123=85311

 

 

 

 

 

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