도쿄대 2020-2(문과)

 

 

 

좌표평면 위에 8개의 직선

$$x = a \quad ( a = 1, 2, 3, 4),$$

$$y = b \quad ( b = 1, 2, 3, 4)$$

 과 16개의 점

$$(a,b) \quad (a=1, 2, 3, 4, b=1, 2, 3, 4)$$

이 있다. 이 중에서 각 조건을 만족하는 서로 다른 5개의 점을 고르는 방법을 구하시오.

 

(1) 8개의 직선 중에서 선택된 점을 하나도 가지지 않는 직선이 딱 2개 존재한다.

(2) 8개의 직선 모두 적어도 하나의 선택된 점을 포함한다.

 

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생각해보기)

 

개인적으로 경우의 수 문제는 수학이라기 보다 퍼즐에 가깝다고 보는데, 어떻게든 공식을 쓰려고 혈안이 되지말고 꼼꼼히 잘 세는 것에만 충실하면 된다고 생각한다. 당연히 어려운 문제일수록 한 방에 세어서 답을 구하는 문제는 드물다. 따라서 잘 세기 위한 첫 번째 단계는 논리적으로 경우를 나누는 것이라고 할 수 있겠다.

 

(p.s. 변명입니다만 제가 능력이 부족한 탓에 말하듯이 풀이를 썼는데 무슨 소린지 당최 알아먹기 힘들 수 도 있다고 생각합니다. 그런 경우에 케이스를 어떻게 나누어서 생각했는지 정도만 이해하셔도 그 다음 스텝은 충분히 스스로 하실 수 있다고 생각합니다!)

 

 

 

풀이)

 

(1)

 

아무 점도 포함하지 않는 두 직선이 평행할 경우와 수직할 경우로 나눠서 생각해보자.

 

① 두 직선이 평행한 경우

 

가로선 4개와 세로선 4개는 모두 같은 조건이기 때문에, $y=3, y=4$ 를 대표 두 직선으로 보고 경우의 수를 생각해도 무방하다. 그래서 오른쪽 그림의 굵은 직선을 제외하고, 남은 8개의 점 중에서 5개의 점을 고르는 경우를 생각해보자. 서로 다른 4 직선중에서 5개의 점을 고르는 것이므로 반드시 한 직선은 2개의 점을 가지고 있어야 한다. 게다가 2 점을 가지고 있는 직선이 2개면 안된다! (만약 그렇게 되면 아무 점도 갖고 있지 않은 3번 째 직선이 생기기 때문)

따라서 이 조건을 만족하도록 점을 고르는 경우의 수는 $4 \times 2 \times 2 \times 2=32$개 이고, 처음 두 직선을 고르는 경우의 수가 $_4C_2+_4C_2=12$ 이므로 총 $32 \times 12 = 384$가지 이다.

 

 

② 두 직선이 직교하는 경우

 

①과 마찬가지 논리로 직교하는 두 직선을 $x=1,y=4$로 두고 경우의 수를 생각해도 무방하다. 오른쪽 그림에서 보듯이 남은 9개의 점 중에서 5개의 점을 고르는 경우의 수를 생각해보자. 이번에는 여사건을 구하고 전체 $_9C_5$에서 빼는 방법으로 세어보자. 여기서 여사건은 점 5개가 2줄에만 나눠들어가게되어 한 줄이 추가로 비게 되는 경우이다. 추가로 비게 될 직선을 고르는 방법이 6가지(가로 3 세로 3), 점이 들어갈 2선의 6칸 중에 5칸을 선택하는 방법이 6가지  총 36가지이므로, 조건을 만족하는 경우의 수는 $_9C_5-36=90$이다. 그리고 처음 두 직선을 고르는 경우의 수가 $4 \times 4 =16$ 이므로 총 $16 \times 90=1440$

 

① ,②의 결과를 더하면 $384+1440=1824$ 가지 이다.

 

 

 

(2)

모든 직선이 최소한 하나의 점을 가지고 있는 경우를 생각해보자. 그러면 세로선의 관점에서 볼 때, 오른쪽 그림처럼 점이 2,1,1,1 이런식으로 배치가 된다. 쉽게 말해 한 세로선은 점을 2개를 가진다는 소리이다. 여기서 그런한 세로선을 고르는 방법은 4가지이고, 2점을 4개의 공간에 배열하는 경우의 수는 $_4C_2=6$가지이다. 이제 남은 3개의 점을 배열하는 경우의 수를 구한 뒤 24를 곱하자.

 

 

①

먼저 위의 경우처럼 남은 세 점 중 두 점이 같은 가로선에 있는 경우를 생각해보자. 이 경우에 두 점을 선택하면 남은 한 점은 위치가 자동으로 결정된다. 한 가로선을 선택하는 방법이 2가지, 한 직선 위에서 2점의 위치를 정하는 방법이 3가지 이므로 총 6가지의 경우의 수가 나온다.  

 

②

아래의 경우처럼 남은 세점이 각각 다른 가로선 위에 위치하는 경우를 살펴보자. 남은 세 점 중 한 점은 반드시 이미 점을 포함하고 있는 가로선에 위치해야한다. 점을 가지고 있는 가로선의 선택하는 경우의 수가 2가지, 그 가로선안에서 위치를 정하는 방법이 3가지이다. 남은 2점을 비어 있는 두 가로선에 배열하는 방법은 단 2가지이다. 따라서 총 $2 \times 3 \times 2 = 12$

 

 

①,②로 부터 남은 3개의 점을 배열하는 경우의 수는 총 18가지이고, 앞서 말했듯이 처음 2점을 배열하는 경우의 수가 24였기 때문에 전체 경우의 수는 $24 \times 18=432$가지이다.