도쿄대 2020-1(문과)

 

 

 

 

좌표평면 위에 곡선

$$C:y=x^3-3a{x}^2+b(a>0,b>0)$$

가 아래의 두 조건을 만족한다. 

 

조건 1 :  $C$는 $x$축에 접한다.

조건 2 :  $x$축과 $C$로 둘러싸인 영역 안에 $x,y$좌표가 모두 정수인 점은 1개 뿐이다. (경계선 위의 점은 제외)

 

이 때, $b$를 $a$로 나타내고, $a$의 범위를 구하여라.

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생각해보기)

 

어렵게 나오는 경우도 종종 있는 '격자점' 문제이다. 하지만 이 문제는 조건을 만족하는 단 하나의 점이 $(0,1)$일 수 밖에 없다는 사실이 다소 쉽게 밝혀지는 문제이다. 

 

 

풀이)

 

먼저 $f(x)$를 미분하고 증감표를 그려서 그래프의 개형을 알아보자.

$f^{\prime }(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)$에서 극댓값 $f(0)=b$ 가 양수이므로 $f(x)$는 $x=2a$에서 $x$축에 접해야 한다.

$$f(2a)=-4a^3+b=0,\therefore b=4a^3$$

$$f(x)=x^3-3a{x}^2+4a^3=(x-2a{)}^2(x-a)$$

$$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & 0& \cdots & 2a& \cdots \\ f^{\prime }(x)& +& 0& -& 0& +\\ f(x)& \nearrow & 4a^3& \searrow & & \nearrow \end{array}$$

 

 

그래프로부터 알 수 있듯이 만약 $(-1,1)$ 이나 $(1,1)$이 영역 안에 들어가게 되면 반드시 $(0,1)$도 들어가게 된다.

다시 말해, 딱 한 점만 영역 안에 있다면 그 점은 $(0,1)$이라는 말이 된다. 이걸 부등식으로 나타내고 $a$의 범위를 구하자.

$$1<f(0)=4a^3\le 2,f(-1)\le 1,f(1)\le 1$$

(경계점은 포함 하지 않는다고 했기 때문에 부등식에서 등호도 포함 시켰다.)

 

처음 부등식을 풀면 $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}<a\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 를 얻을 수 있다.

이 때, $a<1$ 이므로 $f(-1)$이 음수가 되어 두번 째 부등식까지 저절로 성립하게 된다. 이제 $f(1)\le 1$만 보이면 충분하다.

$$f(1)=1-3a+4a^3\le 1\iff a(4a^2-3)\le 0\iff 0<a\le \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\frac{1}{\sqrt[3]{4}}<a\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}},0<a\le \frac{\sqrt{3}}{2}$를 동시에 만족하기 위해서는 먼저 $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{2}$의 크기 비교를 해야된다.

$$(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^6-(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}{)}^6=\frac{27}{64}-\frac{1}{4}=\frac{11}{64}>0$$

따라서 $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}<\frac{\sqrt{3}}{2}$ 이고 조건을 만족하는 $a$의 범위는 $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}<a\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 이다.