도쿄대 2020-1(문과)

 

 

 

 

좌표평면 위에 곡선

$$C :y=x^3-3ax^2+b \quad (a>0,b>0)$$

가 아래의 두 조건을 만족한다. 

 

조건 1 :  $C$는 $x$축에 접한다.

조건 2 :  $x$축과 $C$로 둘러싸인 영역 안에 $x,y$좌표가 모두 정수인 점은 1개 뿐이다. (경계선 위의 점은 제외)

 

이 때, $b$를 $a$로 나타내고, $a$의 범위를 구하여라.

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생각해보기)

 

어렵게 나오는 경우도 종종 있는 '격자점' 문제이다. 하지만 이 문제는 조건을 만족하는 단 하나의 점이 $(0,1)$일 수 밖에 없다는 사실이 다소 쉽게 밝혀지는 문제이다. 

 

 

풀이)

 

먼저 $f(x)$를 미분하고 증감표를 그려서 그래프의 개형을 알아보자.

$f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)$에서 극댓값 $f(0)=b$ 가 양수이므로 $f(x)$는 $x=2a$에서 $x$축에 접해야 한다.

$$f(2a)=-4a^3+b=0, \quad \therefore b=4a^3$$

$$f(x) = x^3-3ax^2+4a^3=(x-2a)^2(x-a)$$

$$ \begin{array}{c|ccccc} x& \cdots & 0 & \cdots & 2a & \cdots \\ \hline f'(x)& + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x)& \nearrow & 4a^3 & \searrow &  & \nearrow \end{array} $$

 

 

그래프로부터 알 수 있듯이 만약 $(-1,1)$ 이나 $(1,1)$이 영역 안에 들어가게 되면 반드시 $(0,1)$도 들어가게 된다.

다시 말해, 딱 한 점만 영역 안에 있다면 그 점은 $(0,1)$이라는 말이 된다. 이걸 부등식으로 나타내고 $a$의 범위를 구하자.

$$1<f(0)=4a^3 \leq 2, \quad f(-1) \leq 1, \quad f(1) \leq 1$$

(경계점은 포함 하지 않는다고 했기 때문에 부등식에서 등호도 포함 시켰다.)

 

처음 부등식을 풀면 $\cfrac{1}{\sqrt[3]{4}} < a \leq \cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 를 얻을 수 있다.

이 때, $a<1$ 이므로 $f(-1)$이 음수가 되어 두번 째 부등식까지 저절로 성립하게 된다. 이제 $f(1) \leq 1$만 보이면 충분하다.

$$f(1)=1-3a+4a^3 \leq 1 \Leftrightarrow a(4a^2-3) \leq 0 \Leftrightarrow 0<a\leq \cfrac{\sqrt{3}}{2}$$

$\cfrac{1}{\sqrt[3]{4}} < a \leq \cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}, \quad 0<a\leq \cfrac{\sqrt{3}}{2}$를 동시에 만족하기 위해서는 먼저 $\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 와 $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$의 크기 비교를 해야된다.

$$(\cfrac{\sqrt{3}}{2})^6 -(\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}})^6=\cfrac{27}{64}-\cfrac{1}{4}=\cfrac{11}{64}>0$$

따라서 $\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}} <\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이고 조건을 만족하는 $a$의 범위는 $\cfrac{1}{\sqrt[3]{4}} < a \leq \cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ 이다.