본고사

도쿄대 2021-6(이과)

후플 2021. 5. 15. 15:36

 

 

 

 

항등식 x4+bx+c=(x2+px+q)(x2px+r)x4+bx+c=(x2+px+q)(x2px+r)에 대한 다음 물음에 답하여라.

 

(1) p0p0 일 때, q,rq,rp,bp,b로 나타내시오.

(2) p0p0와 상수 aa에 대해 b,cb,c

b=(a2+1)(a+2),c=(a+34)(a2+1)b=(a2+1)(a+2),c=(a+34)(a2+1)

를 만족할 때,

{p2(a2+1)}{p4+f(a)p2+g(a)}=0{p2(a2+1)}{p4+f(a)p2+g(a)}=0

을 만족하는 두 다항식 f(t),g(t)f(t),g(t)를 구하시오.

(3) 정수 aa에 대한 4차식

x4+(a2+1)(a+2)x(a+34)(a2+1)x4+(a2+1)(a+2)x(a+34)(a2+1)

이 유리수 계수의 두 이차식의 곱으로 인수분해될 때의 aa를 모두 구하시오.


생각해보기)

 

지금 우리나라의 교육과정 상 고1-1학기에 배우는 고등수학(상)의 항등식 파트에 해당하는 문제이다. 

(1), (2)의 경우 가정만 따라가면 충분히 쉽게 답을 할 수 있다.

(3)이 조금 문제긴 하지만 (2)의 뜬금없는 인수분해 결과를 이용하려는 시도를 해본다면, 그리 어렵지 않게 답 할 수 있을 것 같다.

 

 

풀이)

 

(1)

x4+bx+c=(x2+px+q)(x2px+r)=x4+(q+rp2)x2+p(rq)x+qrx4+bx+c=(x2+px+q)(x2px+r)=x4+(q+rp2)x2+p(rq)x+qr

p0p0 이므로 계수비교를 통해 q+r=p2q+r=p2, rq=bprq=bp를 얻을 수 있고,

연립하면 q=12(p2bp),r=12(p2+bp)q=12(p2bp),r=12(p2+bp) 이다.

 

 

(2)

위의 항등식에서 상수항을 비교하면 qr=cqr=c를 얻을 수 있는데, (1)에서 구한 q,rq,r을 대입하자.

qr=14(p4b2p2)=cp64cp2b2=0qr=14(p4b2p2)=cp64cp2b2=0

b=(a2+1)(a+2),c=(a+34)(a2+1)b=(a2+1)(a+2),c=(a+34)(a2+1)를 대입하고 인수분해 하자.

p6+(4a+c)(a2+1)p2(a2+1)2(a+2)2=0p6+(4a+c)(a2+1)p2(a2+1)2(a+2)2=0

p6+(4a+c)(a2+1)p2(a2+1)2(a+2)2+p4(a2+1)p4(a2+1)=0p6+(4a+c)(a2+1)p2(a2+1)2(a+2)2+p4(a2+1)p4(a2+1)=0

p4{p2(a2+1)}+(a2+1){p4+(4a+c)p2(a2+1)(a+2)2}=0p4{p2(a2+1)}+(a2+1){p4+(4a+c)p2(a2+1)(a+2)2}=0

p4{p2(a2+1)}+(a2+1){p2(a2+1)}{p2+(a+2)2}=0p4{p2(a2+1)}+(a2+1){p2(a2+1)}{p2+(a+2)2}=0

{p2(a2+1)}{p4+(a2+1)p2+(a2+1)(a+2)2}=0{p2(a2+1)}{p4+(a2+1)p2+(a2+1)(a+2)2}=0

 

f(t)=t2+1,g(t)=(t2+1)(t+2)2

 

 

(3)

 

x4+(a2+1)(a+2)x(a+34)(a2+1)가 유리수 계수의 두 이차식으로 인수분해 된다고 생각해보자.

우리는 일반성을 잃지 않고 각 이차식의 이차항의 계수를 1이라고 둘 수 있다. (왜 그런지 생각해봐야함!)

x3의 계수가 0인 점을 이용하면,

x4+(a2+1)(a+2)x(a+34)(a2+1)=(x2+px+q)(x2px+r)

의 형태로 밖에 인수분해 되지 않음을 알 수 있다.

 

먼저 p=0 일 때, 우변의 1차항의 계수가 0이 되고 좌변도 그렇게 되기 위해서 a=2여야 한다.

대입해보면,

x4+254=x4+(q+r)x2+qrq+r=0r=qq2=254

q는 유리수기때문에 모순이다. 따라서 p0 이다.

 

(2)의 가정을 만족하기 때문에 (2)에 의해

{p2(a2+1)}{p4+(a2+1)p2+(a2+1)(a+2)2}=0

이 성립한다. 

위 식에서 p0이고 a는 정수이므로 두 번째 항 전체가 0보다 크다는 사실을 알 수 있다. 

즉, 

p2(a2+1)=0

이다. 가정에 의해 p는 유리수 이므로 p=mn (m,n은 서로소인 두 정수)으로 둘 수 있다.

m2n2=a2+1

m2=n2(a2+1)

에서 n2m2의 약수인데 서로소 이기 위해서는 n2=1이어야한다.

m2=a2+1(m+a)(ma)=1

두 정수 m,a가 위 식을 만족 시키기 위해서는 m+a,ma 가 둘 다 1 또는 -1일 수 밖에 없다. 어떤 경우든 a=0 이다.

 

정리하자면, 오직 a=0일 때

x4+2x34=(x2+x12)(x2x+32)

로 인수분해 되는 형태가 유일하다.

 

 

 

 

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