도쿄대 2021-6(이과)

 

 

 

 

항등식 $x^4+bx+c = (x^2 +px+q)(x^2-px+r)$에 대한 다음 물음에 답하여라.

 

(1) $p \neq 0$ 일 때, $q,r$ 을 $p,b$로 나타내시오.

(2) $p \neq 0$와 상수 $a$에 대해 $b,c$가

$$ b=(a^2 +1)(a+2), \quad c=- (a+\cfrac{3}{4})(a^2+1)$$

를 만족할 때,

$$\{p^2 -(a^2+1)\}\{p^4+f(a)p^2+g(a)\}=0$$

을 만족하는 두 다항식 $f(t),g(t)$를 구하시오.

(3) 정수 $a$에 대한 4차식

$$x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+\cfrac{3}{4})(a^2+1)$$

이 유리수 계수의 두 이차식의 곱으로 인수분해될 때의 $a$를 모두 구하시오.

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생각해보기)

 

지금 우리나라의 교육과정 상 고1-1학기에 배우는 고등수학(상)의 항등식 파트에 해당하는 문제이다. 

(1), (2)의 경우 가정만 따라가면 충분히 쉽게 답을 할 수 있다.

(3)이 조금 문제긴 하지만 (2)의 뜬금없는 인수분해 결과를 이용하려는 시도를 해본다면, 그리 어렵지 않게 답 할 수 있을 것 같다.

 

 

풀이)

 

(1)

$x^4+bx+c = (x^2 +px+q)(x^2-px+r)=x^4+(q+r-p^2)x^2+p(r-q)x+qr$

$p \neq 0$ 이므로 계수비교를 통해 $q+r=p^2$, $r-q=\cfrac{b}{p}$를 얻을 수 있고,

연립하면 $q=\cfrac{1}{2}(p^2-\cfrac{b}{p}), r=\cfrac{1}{2}(p^2+\cfrac{b}{p})$ 이다.

 

 

(2)

위의 항등식에서 상수항을 비교하면 $qr=c$를 얻을 수 있는데, (1)에서 구한 $q,r$을 대입하자.

$qr =\cfrac{1}{4}(p^4-\cfrac{b^2}{p^2})=c \qquad p^6-4cp^2-b^2=0$

$b=(a^2 +1)(a+2), c=- (a+\cfrac{3}{4})(a^2+1)$를 대입하고 인수분해 하자.

$p^6+(4a+c)(a^2+1)p^2-(a^2+1)^2(a+2)^2=0$

$p^6+(4a+c)(a^2+1)p^2-(a^2+1)^2(a+2)^2+p^4(a^2+1)-p^4(a^2+1)=0$

$p^4\{p^2-(a^2+1)\}+(a^2+1)\{p^4+(4a+c)p^2-(a^2+1)(a+2)^2\}=0$

$p^4\{p^2-(a^2+1)\}+(a^2+1)\{p^2-(a^2+1)\}\{p^2+(a+2)^2\}=0$

$\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2)^2\}=0$

 

$\therefore f(t)=t^2+1, g(t)=(t^2+1)(t+2)^2$

 

 

(3)

 

$x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+\cfrac{3}{4})(a^2+1)$가 유리수 계수의 두 이차식으로 인수분해 된다고 생각해보자.

우리는 일반성을 잃지 않고 각 이차식의 이차항의 계수를 1이라고 둘 수 있다. (왜 그런지 생각해봐야함!)

또 $x^3$의 계수가 0인 점을 이용하면,

$ x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+\cfrac{3}{4})(a^2+1)= (x^2 +px+q)(x^2-px+r)$

의 형태로 밖에 인수분해 되지 않음을 알 수 있다.

 

먼저 $p=0$ 일 때, 우변의 1차항의 계수가 0이 되고 좌변도 그렇게 되기 위해서 $a=-2$여야 한다.

대입해보면,

$$x^4+\cfrac{25}{4}=x^4+(q+r)x^2+qr \quad q+r=0 \quad r=-q \quad \therefore q^2=-\cfrac{25}{4}$$

$q$는 유리수기때문에 모순이다. 따라서 $p \neq 0$ 이다.

 

(2)의 가정을 만족하기 때문에 (2)에 의해

$$\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2)^2\}=0$$

이 성립한다. 

위 식에서 $p \neq 0$이고 $a$는 정수이므로 두 번째 항 전체가 0보다 크다는 사실을 알 수 있다. 

즉, 

$$p^2-(a^2+1)=0$$

이다. 가정에 의해 $p$는 유리수 이므로 $p=\cfrac{m}{n}$ ($m,n$은 서로소인 두 정수)으로 둘 수 있다.

$$\cfrac{m^2}{n^2}=a^2+1$$

$$m^2=n^2(a^2+1)$$

에서 $n^2$은 $m^2$의 약수인데 서로소 이기 위해서는 $n^2=1$이어야한다.

$$m^2=a^2+1 \quad (m+a)(m-a)=1$$

두 정수 $m,a$가 위 식을 만족 시키기 위해서는 $m+a, m-a$ 가 둘 다 1 또는 -1일 수 밖에 없다. 어떤 경우든 $a=0$ 이다.

 

정리하자면, 오직 $a=0$일 때

$$x^4+2x-\cfrac{3}{4}=(x^2+x-\cfrac{1}{2})(x^2-x+\cfrac{3}{2})$$

로 인수분해 되는 형태가 유일하다.