도쿄대 2021-5(이과)

 

 

 

양의 실수 $\alpha$와 $0\le \theta \le \pi$ 위의 함수 $f(\theta )$를 두 점 $A(-\alpha ,-3),P(\theta +\sin \theta ,\cos \theta )$ 사이의 거리의 제곱으로 정의하자.

 

(1) $0<\theta <\pi$ 에서 $f^{\prime }(\theta )=0$ 을 만족하는 $\theta$가 오직 하나 존재함을 보여라.

(2) $f(\theta )$ 가 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ 에서 최댓값을 가질 $\alpha$의 범위를 구하여라.

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생각해보기)

 

$f^{\prime }(\theta )$ 의 근을 알아보기 위해 미분을 하고, 여전히 $f^{″}(\theta )$ 로는 알기가 힘들어서 한 번 더 미분을 하였다. $f^{\prime }(\theta )$ 의 2계 도함수까지 구한 것 뿐인데, $f(\theta )$ 의 입장에선 3번 미분한 상황이라 증감표를 다루기가 다소 복잡하다. 어쩔 수 없다. 결국 미적분 파트는 계산이 기본!

 

풀이)

 

(1)

 

$f(\theta )=(\theta +\sin \theta +\alpha {)}^2+(\cos \theta +3{)}^2$

$f^{\prime }(\theta )=2(\theta +\sin \theta +\alpha )(1+\cos \theta )-2(\cos \theta +3)\sin \theta$

              $=2(\theta +\alpha )(1+\cos \theta )-4\sin \theta$

$f^{″}(\theta )=2(1-\cos \theta )-2(\theta +\alpha )\sin \theta$

$f^{‴}(\theta )=-2(\theta +\alpha )\cos \theta$

 

 

$\begin{array}{cccccc}\theta & 0& \cdots & \frac{\pi }{2}& \cdots & \pi \\ f^{‴}(\theta )& & -& 0& +& \\ f^{″}(\theta )& 0& \searrow & & \nearrow & 4\end{array}$

 

여기서 $f^{″}(\frac{\pi }{2})$ 는 음수이므로, $f^{″}(\beta )=0$을 만족시키는 $\beta$ 가 $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$ 안에 단 하나 존재한다.

 

이 점을 이용해서 $f^{\prime }(\theta )$ 의 증감표를 그려보면,

 

 

$\begin{array}{cccccc}\theta & 0& \cdots & \beta & \cdots & \pi \\ f^{″}(\theta )& & -& 0& +& \\ f^{\prime }(\theta )& 4\alpha & \searrow & & \nearrow & 0\end{array}$

 

$4\alpha$ 는 양수이고, 증감표로 부터 $f^{\prime }(\beta )$ 는 음수이기 때문에 $0<\theta <\pi$ 안에 $f^{\prime }(\theta )=0$을 만족하는 $\theta$가 단 하나 존재한다는 것을 알 수 있다.

 

 

(2)

 

(1)에서 마지막에 우리가 구한 $f^{\prime }(\theta )=0$을 만족하는 $\theta$를 $\gamma$ 라고 하자. (1)을 통해 $0<\theta <\gamma$ 에서는 $f^{\prime }(\theta )>0$이고, $\gamma <\theta <\pi$에서는 $f^{\prime }(\theta )<0$ 이며 따라서 $\theta =\gamma$ 일 때 $f(\theta )$는 극대임을 알 수 있다. 이를 증감표로 나타내보자.

 

$\begin{array}{cccccc}\theta & 0& \cdots & \gamma & \cdots & \pi \\ f^{\prime }(\theta )& & +& 0& -& 0\\ f(\theta )& & \nearrow & & \searrow & \end{array}$

 

 

이제 우리의 목표는 $\gamma <\frac{\pi }{2}$ 임을 보이는 것이다. 그런데 이는 $f^{\prime }(\frac{\pi }{2})<0$ 임을 보이면 충분하다. ( 증감표에 모든 것이 있다!)

 

$f^{\prime }(\frac{\pi }{2})=2(\frac{\pi }{2}+\alpha )-4=\pi -4+2\alpha <02\alpha <4-\pi$

$\therefore 0<\alpha <2-\frac{\pi }{2}$