도쿄대 2021-5(이과)

 

 

 

양의 실수 $\alpha$와 $0 \leq \theta \leq \pi$ 위의 함수 $f(\theta)$를 두 점 $A(-\alpha,-3), P(\theta + \sin {\theta}, \cos {\theta})$ 사이의 거리의 제곱으로 정의하자.

 

(1) $0<\theta<\pi$ 에서 $f'(\theta)=0$ 을 만족하는 $\theta$가 오직 하나 존재함을 보여라.

(2) $f(\theta)$ 가 $0 <\theta < {\pi \over 2}$ 에서 최댓값을 가질 $\alpha$의 범위를 구하여라.

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생각해보기)

 

$f'(\theta)$ 의 근을 알아보기 위해 미분을 하고, 여전히 $f''(\theta)$ 로는 알기가 힘들어서 한 번 더 미분을 하였다. $f'(\theta)$ 의 2계 도함수까지 구한 것 뿐인데, $f(\theta)$ 의 입장에선 3번 미분한 상황이라 증감표를 다루기가 다소 복잡하다. 어쩔 수 없다. 결국 미적분 파트는 계산이 기본!

 

풀이)

 

(1)

 

$f(\theta) = (\theta+\sin{\theta}+\alpha)^2+(\cos{\theta}+3)^2$

$f'(\theta) = 2(\theta + \sin{\theta} + \alpha)(1 + \cos{\theta})-2(\cos{\theta}+3)\sin{\theta}$

              $=2(\theta+\alpha)(1+\cos{\theta})-4\sin{\theta}$

$f''(\theta)=2(1-\cos{\theta})-2(\theta+\alpha)\sin{\theta}$

$f'''(\theta)=-2(\theta+\alpha)\cos{\theta}$

 

 

$ \begin{array}{c|ccccc} \theta& 0 & \cdots & \cfrac{\pi}{2}& \cdots &\pi \\ \hline f'''(\theta)& & - & 0 & + & \\ \hline f''(\theta)& 0 & \searrow & & \nearrow & 4 \end{array} $

 

여기서 $f''(\cfrac{\pi}{2})$ 는 음수이므로, $f''(\beta)=0$을 만족시키는 $\beta$ 가 $ \cfrac{\pi}{2} <\theta < {\pi}$ 안에 단 하나 존재한다.

 

이 점을 이용해서 $f'(\theta)$ 의 증감표를 그려보면,

 

 

$ \begin{array}{c|ccccc} \theta& 0 & \cdots & \beta& \cdots &\pi \\ \hline f''(\theta)& & - & 0 & + & \\ \hline f'(\theta)& 4\alpha & \searrow & & \nearrow & 0 \end{array} $

 

$4\alpha$ 는 양수이고, 증감표로 부터 $f'(\beta)$ 는 음수이기 때문에 $0< \theta < \pi $ 안에 $f'(\theta)=0$을 만족하는 $\theta$가 단 하나 존재한다는 것을 알 수 있다.

 

 

(2)

 

(1)에서 마지막에 우리가 구한 $f'(\theta)=0$을 만족하는 $\theta$를 $\gamma$ 라고 하자. (1)을 통해 $0< \theta < \gamma $ 에서는 $f'(\theta)>0$이고, $\gamma< \theta < \pi $에서는 $f'(\theta)<0$ 이며 따라서 $\theta = \gamma$ 일 때 $f(\theta)$는 극대임을 알 수 있다. 이를 증감표로 나타내보자.

 

$ \begin{array}{c|ccccc} \theta& 0 & \cdots & \gamma& \cdots &\pi \\ \hline f'(\theta)& & + & 0 & - & 0 \\ \hline f(\theta)&  & \nearrow & & \searrow &  \end{array} $

 

 

이제 우리의 목표는 $\gamma < \cfrac{\pi}{2}$ 임을 보이는 것이다. 그런데 이는 $f'(\cfrac{\pi}{2})<0$ 임을 보이면 충분하다. ( 증감표에 모든 것이 있다!)

 

$f'(\cfrac{\pi}{2})=2 ( \cfrac{\pi}{2}+\alpha)-4=\pi-4+2\alpha < 0 \qquad 2\alpha < 4- \pi $

$\therefore 0 <\alpha < 2- \cfrac{\pi}{2} $