교토대 2021-1(문과)

 

 

 

(1)  6.75를 2진법을 나타내고, 그 수와 $101.0101_{(2)}$의 곱을 2진법, 4진법으로 표현하여라.

 

(2) $OA=3$, $OB=2$, $\angle{AOB}=60^\circ$인  $\triangle OAB$가 있다. $\triangle OAB$의 수심 $H$에 대해, $\overrightarrow{OH}$를 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$로 표현하여라.

 

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생각해보기)

 

(1) 사실 이진법 수 끼리의 곱셈도 가능은 하지만, 필연적으로 수의 길이자체가 길어지고 올림을 하는과정에서 실수할 요인이 많다고 생각된다. 우리에게 친숙한 십진법으로 바꾸어서 해결하는게 안전하지 않을까 ? 게다가 정수부분과 분수부분을 나눠서 계산하면 나중에 다시 이진법이나 사진법으로 변환하기가 좀 더 수월할 것 같다.

 

(2)흔한 문제에 대한 정석적인 풀이이다. 아래에 언급해둔 메넬라오스 정리까지 알아두면 도움이 될 것 같다. ( 알면 손해는 아니라는 소리일 뿐 필자는 정석적인 풀이를 먼저 마스터하는게 순서라고 생각한다.)

 

 

 

풀이)

 

(1)

$6.75 = 2^2 + 2^1 + 2^{-1}+2^{-2}$이므로 6.75의 이진법은 $110.11_{(2)}$이다.

이진수 $101.0101$의 10진법 표기법은 $2^2+2^0+2^{-2}+2^{-4}=5+\cfrac{5}{16}$이므로, 

$$\left( 6+ \cfrac{3}{4}\right) \times \left( 5 + \cfrac{5}{16} \right)=35 + \cfrac{55}{64}$$

$35 = 2^5 +2^1 +2^0, \quad 55 = 2^5 +2^4 +2^2 +2^1 +2^0$, $\quad$ $64 =2^6$이므로 곱의 이진법은 $100011.110111_{(2)}$이고,

$35 = 2 \cdot 4^2 + 3\cdot 4^0, \quad 55 = 3\cdot 4^2 + 1\cdot 4^1 +3 \cdot 4^0$, $\quad$ $64=4^3$이므로 사진법은 $203.313_{(4)}$이다.

 

 

(2)

위 그림과 같이 직선 $AH$가 선분 $OB$와 만나는 점을 $D$라 하고, 편의상 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$라 하자.

$OD = 3\cos 60^{\circ}=\cfrac{3}{2}$, $OE = 2\cos60^{\circ}=1$ 이므로

$\overrightarrow{OD}=\cfrac{3}{4}\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OE} = \cfrac{1}{3}\overrightarrow{a}$이다.

여기서 $AH:HD = s : 1-s$, $BH : HE = t : 1-t$라 하면,

$$\overrightarrow{OH}=(1-s)\overrightarrow{a}+\cfrac{3s}{4}\overrightarrow{b}, \quad \overrightarrow{OH}=\cfrac{t}{3}\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}$$

로 나타낼 수 있다. 연립해서 $s$를 구하면 $s = \cfrac{8}{9}$이 되고,  $\overrightarrow{OH}=\cfrac{1}{9} \overrightarrow{OA}+\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}$ 이다.

 

(2)의 별해 

 

$\triangle OBE$와 한 직선 위에 있고 삼각형의 각 직선과 만나는 세 점 $D, H, A$에 대해 메넬라오스 정리를 쓰면 다음이 성립한다.

$$ \cfrac{HE}{HB} \cdot \cfrac{DB}{DO} \cdot \cfrac{AO}{AE}=1$$

$HB, HE$외의 네 선분의 길이는 알고 있다. 정리하면 $2HB = HE$, 즉 $HB: HE = 1:2$ 임을 알 수 있다. 이제,

$$\overrightarrow{OH} = \cfrac{1}{3}\overrightarrow{OE}+ \cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\cfrac{1}{9} \overrightarrow{OA}+\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}$$

이다.