교토대 2021-2(문과)

 

 

 

다음 정적분을 계산하시오.

$$\int_{-1}^{1}\left|x^2- \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right|dx$$

 

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생각해보기)

 

생각해보고 자시고가 없다. 절댓값을 없애기 위해 범위 나누고 적분하면 된다는 걸 모두가 알고 있을 것.

 

 

풀이)

 

$x^2-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{1}{2} = \cfrac{1}{2}(2x+1)(x-1)$로 인수분해 되어 피적분함수가 $-\cfrac{1}{2} <  x < 1$에서 음수임을 알 수 있다.

 

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|x^2- \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right|dx$

=$\displaystyle\int_{-1}^{-1/2}\left(x^2- \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)dx - \displaystyle\int_{-1/2}^{1}\left(x^2- \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)dx$

=$\left[ \cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{x}{2}\right]_{-1}^{-1/2} - \left[ \cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{x}{2}\right]_{-1/2}^{1} = \cfrac{19}{24}$