교토대 2021-4(문과)

 

 

 

 

공간 위의 8점

$$O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0)$$

$$D(0,0,3),E(1,0,3),F(1,2,3),G(0,2,3)$$

으로 이루어진 직육면체 $OABC-DEFG$에서 점 $O$, 점 $F$, 선분 $AE$ 위의 점 $P$, 선분 $CG$위의 점 $Q$가 한 평면 위에 있다. 이 때, 사각형 $OPFQ$의 넓이가 최소가 되는 $P,Q$와 그 때의 넓이 를 구하여라.

 

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생각해보기)

 

공간도형 문제라는 것 자체로 겁 먹을 수 있을 지도 모른다. 하지만, 주어진 점의 좌표를 이용해 구하고자 하는 점 $P, Q$도 좌표를 세워서 접근하면 그리 특별한 문제가 아님을 알 수 있다.

 

 

 

풀이)

 

 

점 $P, Q$의 좌표는 각각 $(1, 0, p), (0, 2, q)$라 쓸 수 있다. $(0 \leq p, q \leq 3)$

이 때, 네 점 $O, P, F, Q$가 동일 평면 상에 있기 때문에, 두 실수 $s, t$에 대해

$$\overrightarrow{OF}=s\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{OQ}$$

와 같이 나타낼 수 있다. 위 식을 좌표를 이용해 나타내면, 

$$(1, 2, 3) = s(1, 0, p) +t(0, 2, q)$$

에서 $s=1, t=1$과 $p+q=3$임을 알 수 있다.

그리고,

$$\overrightarrow{QF}=(1,2,3)-(0,2,3-p)=(1,0,p)=\overrightarrow{OP}$$

에서 사각형 $OPFQ$는 평행사변형이고, $OPFQ$의 넓이 $S$는 $\triangle OPQ$ 넓이의 2배이다.

 

$$S = \sqrt{|\overrightarrow{OP}|^2|\overrightarrow{OQ}|^2-(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ})^2}$$

$$=\sqrt{(1+p^2)(4+q^2)-(pq)^2}$$

$$=\sqrt{4p^2+(3-p^2)+4}$$

$$=\sqrt{5\left(p-\cfrac{3}{5}\right)^2+\cfrac{56}{5}}$$

 

$\therefore$ $p=\cfrac{3}{5}$일 때, $S$는 최솟값 $\cfrac{2\sqrt{70}}{5}$을 갖고 이 때 $P, Q$의 좌표는 각각 $(1, 0, \cfrac{3}{5}), (0, 2, \cfrac{12}{5})$ 이다.