교토대 2021-5(문과)

 

 

 

 

$p$가 소수면 $p^4+14$는 소수가 아님을 보이시오.

 

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생각해보기)

 

우리나라의 일반 수험생들 입장에서는 잘 보지못한 생소한 문제일 것 이다.

'정수의 분류' 라고 해서 모든 정수를 특정 수로 나눈 나머지를 기준으로 나눌 수 있다.

대표적인것이 짝수(2로 나눈 나머지 0), 홀수(2로 나눈 나머지 1)로의 분류이고,

이 문제에서는 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2인 세 그룹으로 소수를 분류하여 문제를 쉽게 풀어냈다.

(물론 3으로 나눈 나머지가 0인 그룹은 3의 배수로 소수가 아니기 때문에 본 풀이에서 다루지 않았다.)

 

 

 

 

 

풀이)

 

소수 $p=3$이면 $p^4+14=95$는 소수가 아니다.

이제 $p \neq 3$ 인 경우에 $p=3q+r$ 로 둘 수 있다. ($r$= 1 or 2)

$p^2 = (3q+r)^2=3(3q^2+2qr)+r^2$로 부터 $p^2$을 3으로 나눈 나머지는 항상 1임을 알 수 있다.

같은 논리에 의해서 $p^4$을 3으로 나눈 나머지도 1이다. 이제 그 나머지 1과 14의 합 15는 3의 배수이므로,

$p^4+14$는 3의 배수가 되어 소수가 아님이 증명된다.