교토대 2021-2(이과)

 

 

 

$y=\cfrac{1}{2}(x^2+1)$ 위의 한 점 $P$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $Q$라고 할 때, 선분 $PQ$ 길이의 최솟값을 구하여라.

 

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생각해보기)

 

간단한 풀이가 따로 있는 문제가 아니다. 계산 실수에 유의하며 미분을 잘 하는 수 밖에 없다.

굳이 팁이라면 선분 $PQ$의 길이를 점과 점 사이의 거리를 이용해서 구하기보다, 기울기를 이용한 닮음으로 구하면 조금 간단해진다 정도랄까?

 

 

 

풀이)

 

주어진 함수의 그래프가 $y$축 대칭이므로, 우리는 일반성을 잃지않고 $P$의 $x$좌표 $p$를 양수라고 생각해도 무방하다.

$y'=x$이므로 $P$에서의 접선의 방정식은 $y=p(x-p)+\cfrac{1}{2}(p^2+1)=px-\cfrac{p^2}{2}+{1}{2}$이고, $Q$의 $x$좌표를 구하기 위해 $y=0$을 대입하면, $x = \cfrac{p}{2}-\cfrac{1}{2p}$를 얻는다.

처음 $p>0$임을 가정했기 때문에, 두 점 $P,Q$의 $x$좌표 사이의 거리는 

$$p-\left( \cfrac{p}{2}-\cfrac{1}{2p}\right)=\cfrac{p}{2}+\cfrac{1}{2p}$$

이다. 직선 $PQ$의 기울기가 $p$이므로, 선분의 길이 $L$은 위에서 구한 값의 $\sqrt{1+p^2}$ 배 한 것이 된다.

 

$$L = \sqrt{1+p^2}\left(\cfrac{p}{2}+\cfrac{1}{2p}\right)=\cfrac{(p^2+1)^{3/2}}{2p}$$

 

이 함수를 $f(p)$라 하고 미분하면

 

$$f'(p)=\cfrac{\frac{3}{2}(p^2+1)^{1/2}\cdot 2p \cdot 2p -(p^2+1)^{3/2}\cdot 2}{(2p)^2}$$

$$=\cfrac{6p^2(p^2+1)^{1/2}-2(p^2+1)(p^2+1)^{1/2}}{4p^2}$$

$$=\cfrac{(2p^2-1)(p^2+1)^{1/2}}{2p^2}$$

이 되고, 증감표를 그리면

$$ \begin{array}{c|cccc} p& 0 & \cdots & \cfrac{1}{\sqrt{2}}& \cdots  \\ \hline f'(p)& & - & 0 & + \\ \hline f(p)&  & \searrow & & \nearrow  \end{array} $$

가 되어 $p=\cfrac{1}{\sqrt2}$일 때 $L=f(p)$가 최솟값을 가짐을 알 수 있다. 따라서 최솟값은

$$f \left(\cfrac{1}{\sqrt2} \right)=\cfrac{(\frac{1}{2}+1)^{3/2}}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt2}} = \cfrac{3\sqrt3}{4}$$

이다.