교토대 2021-3(이과)

 

 

 

무한급수 $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\cfrac{1}{2}\right)^n\cos \cfrac{n\pi}{6}$$

를 계산하여라.

 

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생각해보기)

 

그냥 $\cos$의 12주기를 이용해서 풀려고 하는순간 문제가 심각해지기 시작한다. 사실 이 문제를 보자마자 복소수의 실수부분 + 드 무아브르 정리가 한 번에 떠오르기란 쉽지 않은 것 같다. 이번 기회에 다시 한 번 잘 알아놓도록 하자!

 

 

 

 

풀이)

 

무한급수의 부분합을 $S_n =\displaystyle\sum_{k=0}^n \left( \cfrac{1}{2}\right)^k \cos \cfrac{k\pi}{6}$이라 하고 극한값을 구하자. 또, $z = \cfrac{1}{2}\left(\cos \cfrac{\pi}{6}+i\sin\cfrac{\pi}{6}\right)$라 하자.

$T_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n z^k$이라 정의하면,  $T_n$의 실수부분이 바로 $S_n$이 된다. (드 무아브르 정리)

$T_n$은 등비수열의 합이므로, 

 

$$\begin{align}T_n &= \cfrac{1-z^{n+1}}{1-z}\\&=\cfrac{1-z^{n+1}}{1-\cfrac{\sqrt3}{4}-\frac{1}{4}i}\\&=\cfrac{4(1-z^{n+1})(4-\sqrt3 +i)}{(4-\sqrt3)^2 +1}\\&=\cfrac{(1-z^{n+1})(4-\sqrt3 +i)}{5-2\sqrt3}\end{align}$$

 

여기서 $S_n$은 $\cfrac{4-\sqrt3}{5-2\sqrt3}=\cfrac{14+3\sqrt3}{13}$과 $\cfrac{-z^{n+1}(4-\sqrt3+i)}{5-2\sqrt3}$의 실수부분의 합이다. 그런데 $|z|<1$ 이므로 후자의 극한값은 0이 된다.

따라서 $S_n$은 $\cfrac{14+3\sqrt3}{13}$에 수렴하게 된다.