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본고사

교토대 2021-5(이과)

후플 2021. 5. 31. 14:12

 

 

 

 

좌표평면 위에 B(3,1),C(3,1) y좌표가 양수고 BAC=π3 만족하는 A 있다.

 

1) ABC 외심의 좌표를 구하여라.

2) 점 A 조건을 만족하면서 움직일 , 수심의 자취의 방정식을 구하여라.

 


 

생각해보기)

 

1) 두 점 B,Cy축에 대해 대칭이기 때문에 외심의 정의로 부터 외심이 y축 위에 있음을 알 수 있다.

2) 구하고자 하는 자취인 수심의 좌표를 (X,Y)로 두고 X,Y에 대한 관계식을 찾는 전형적인 문제이다.

또는 중학교 수준의 도형지식만으로도 해결할 수 있으니 관심있으시면 해보시길 바란다. (지름에 대한 원주각이 만들어 내는 직각과 수선이 만들어 내는 직각을 이용하여 해결가능)

 

 

 

풀이)

 

1) 사인법칙을 이용해서 외접원의 반지름을 구하면

23sinπ3=2RR=2 

ABC의 외심은 선분 BC의 이등분선, 즉 y-축 위에 있으므로 그 좌표를 P(0,p)라 할 수 있다.

PB=PC=2임을 이용하면 p=2,0이 나오는데, p=2일 때는 Ay좌표가 양수가 될 수 없다.

따라서 외심의 좌표는 원점이 (0,0)이 된다.

 

 

2) 점 A(a,b)a2+b2=4,b>0을 만족한다. 

a3일 때 직선 AC의 방정식은 

y=b+1a3(x3)1

이고, 점 B에서 직선 AC로의 수선의 방정식은

y=a3b+1(x+3)1

이다. (이 수선의 방정식은 a=3일 때도 성립한다.)

이 수선의 방정식과 직선 x=a의 교점이 수심이기 때문에 y좌표를 구하면,

y=a3b+1(a+3)1=a23b+11=(4b2)3b+11=b2

 

수심의 좌표를 (X,Y)라 하자. 그러면 X=a 일 때 Y=b2가 성립하고 이를 a2+b2=4에 대입하면, 자취의 방정식

X2+(Y+2)2=4Y>2

를 구할 수 있다.

 

 

 

 

 

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