교토대 2021-5(이과)

 

 

 

 

좌표평면 위에 두 점 $B(-\sqrt{3},-1),C(\sqrt{3},-1)$와 $y$좌표가 양수고 $\mathrm{\angle }BAC=\frac{\pi }{3}$를 만족하는 점 $A$가 있다.

 

1) $\mathrm{△}ABC$의 외심의 좌표를 구하여라.

2) 점 $A$가 조건을 만족하면서 움직일 때, 수심의 자취의 방정식을 구하여라.

 

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생각해보기)

 

1) 두 점 $B,C$가 $y$축에 대해 대칭이기 때문에 외심의 정의로 부터 외심이 $y$축 위에 있음을 알 수 있다.

2) 구하고자 하는 자취인 수심의 좌표를 $(X,Y)$로 두고 $X,Y$에 대한 관계식을 찾는 전형적인 문제이다.

또는 중학교 수준의 도형지식만으로도 해결할 수 있으니 관심있으시면 해보시길 바란다. (지름에 대한 원주각이 만들어 내는 직각과 수선이 만들어 내는 직각을 이용하여 해결가능)

 

 

 

풀이)

 

1) 사인법칙을 이용해서 외접원의 반지름을 구하면

$$\frac{2\sqrt{3}}{\sin \frac{\pi }{3}}=2R\Rightarrow R=2$$ 

$\mathrm{△}ABC$의 외심은 선분 $BC$의 이등분선, 즉 $y$-축 위에 있으므로 그 좌표를 $P(0,p)$라 할 수 있다.

$PB=PC=2$임을 이용하면 $p=-2,0$이 나오는데, $p=-2$일 때는 $A$의 $y$좌표가 양수가 될 수 없다.

따라서 외심의 좌표는 원점이 $(0,0)$이 된다.

 

 

2) 점 $A(a,b)$는 $a^2+b^2=4,b>0$을 만족한다. 

$a\ne \sqrt{3}$일 때 직선 $AC$의 방정식은 

$$y=\frac{b+1}{a-\sqrt{3}}(x-\sqrt{3})-1$$

이고, 점 $B$에서 직선 $AC$로의 수선의 방정식은

$$y=-\frac{a-\sqrt{3}}{b+1}(x+\sqrt{3})-1$$

이다. (이 수선의 방정식은 $a=\sqrt{3}$일 때도 성립한다.)

이 수선의 방정식과 직선 $x=a$의 교점이 수심이기 때문에 $y$좌표를 구하면,

$$\begin{array}{rl}y& =-\frac{a-\sqrt{3}}{b+1}(a+\sqrt{3})-1\\ & =-\frac{a^2-3}{b+1}-1\\ & =-\frac{(4-b^2)-3}{b+1}-1\\ & =b-2\end{array}$$

 

수심의 좌표를 $(X,Y)$라 하자. 그러면 $X=a$ 일 때 $Y=b-2$가 성립하고 이를 $a^2+b^2=4$에 대입하면, 자취의 방정식

$$X^2+(Y+2{)}^2=4Y>-2$$

를 구할 수 있다.