교토대 2021-3(이과)

 

 

 

무한급수 $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cos \frac{n\pi }{6}$$

를 계산하여라.

 

---

 

생각해보기)

 

그냥 $\cos$의 12주기를 이용해서 풀려고 하는순간 문제가 심각해지기 시작한다. 사실 이 문제를 보자마자 복소수의 실수부분 + 드 무아브르 정리가 한 번에 떠오르기란 쉽지 않은 것 같다. 이번 기회에 다시 한 번 잘 알아놓도록 하자!

 

 

 

 

풀이)

 

무한급수의 부분합을 $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^k\cos \frac{k\pi }{6}}$이라 하고 극한값을 구하자. 또, $z=\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})$라 하자.

$T_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{z}^k}$이라 정의하면,  $T_n$의 실수부분이 바로 $S_n$이 된다. (드 무아브르 정리)

$T_n$은 등비수열의 합이므로, 

 

$$\begin{array}{rl}{T}_n& =\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\\ & =\frac{1-z^{n+1}}{1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4}i}\\ & =\frac{4(1-z^{n+1})(4-\sqrt{3}+i)}{(4-\sqrt{3}{)}^2+1}\\ & =\frac{(1-z^{n+1})(4-\sqrt{3}+i)}{5-2\sqrt{3}}\end{array}$$

 

여기서 $S_n$은 $\frac{4-\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}=\frac{14+3\sqrt{3}}{13}$과 $\frac{-z^{n+1}(4-\sqrt{3}+i)}{5-2\sqrt{3}}$의 실수부분의 합이다. 그런데 $|z|<1$ 이므로 후자의 극한값은 0이 된다.

따라서 $S_n$은 $\frac{14+3\sqrt{3}}{13}$에 수렴하게 된다.