교토대 2021-2(이과)

 

 

 

$y=\frac{1}{2}(x^2+1)$ 위의 한 점 $P$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $Q$라고 할 때, 선분 $PQ$ 길이의 최솟값을 구하여라.

 

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생각해보기)

 

간단한 풀이가 따로 있는 문제가 아니다. 계산 실수에 유의하며 미분을 잘 하는 수 밖에 없다.

굳이 팁이라면 선분 $PQ$의 길이를 점과 점 사이의 거리를 이용해서 구하기보다, 기울기를 이용한 닮음으로 구하면 조금 간단해진다 정도랄까?

 

 

 

풀이)

 

주어진 함수의 그래프가 $y$축 대칭이므로, 우리는 일반성을 잃지않고 $P$의 $x$좌표 $p$를 양수라고 생각해도 무방하다.

$y^{\prime }=x$이므로 $P$에서의 접선의 방정식은 $y=p(x-p)+\frac{1}{2}(p^2+1)=px-\frac{p^2}{2}+12$이고, $Q$의 $x$좌표를 구하기 위해 $y=0$을 대입하면, $x=\frac{p}{2}-\frac{1}{2p}$를 얻는다.

처음 $p>0$임을 가정했기 때문에, 두 점 $P,Q$의 $x$좌표 사이의 거리는 

$$p-(\frac{p}{2}-\frac{1}{2p})=\frac{p}{2}+\frac{1}{2p}$$

이다. 직선 $PQ$의 기울기가 $p$이므로, 선분의 길이 $L$은 위에서 구한 값의 $\sqrt{1+p^2}$ 배 한 것이 된다.

 

$$L=\sqrt{1+p^2}(\frac{p}{2}+\frac{1}{2p})=\frac{(p^2+1{)}^{3/2}}{2p}$$

 

이 함수를 $f(p)$라 하고 미분하면

 

$$f^{\prime }(p)=\frac{\frac{3}{2}(p^2+1{)}^{1/2}\cdot 2p\cdot 2p-(p^2+1{)}^{3/2}\cdot 2}{(2p{)}^2}$$

$$=\frac{6p^2(p^2+1{)}^{1/2}-2(p^2+1)(p^2+1{)}^{1/2}}{4p^2}$$

$$=\frac{(2p^2-1)(p^2+1{)}^{1/2}}{2p^2}$$

이 되고, 증감표를 그리면

$$\begin{array}{ccccc}p& 0& \cdots & \frac{1}{\sqrt{2}}& \cdots \\ f^{\prime }(p)& & -& 0& +\\ f(p)& & \searrow & & \nearrow \end{array}$$

가 되어 $p=\frac{1}{\sqrt{2}}$일 때 $L=f(p)$가 최솟값을 가짐을 알 수 있다. 따라서 최솟값은

$$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{(\frac{1}{2}+1{)}^{3/2}}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

이다.