교토대 2021-4(이과)

 

 

 

곡선 $y=\log(1+\cos x) \quad (0 \leq x \leq \cfrac{\pi}{2})$ 의 길이를 구하여라.

 

---

 

 

생각해보기)

 

곡선의 길이를 구하는 공식은 모두 알고 있을 것이다. 문제는 피적분함수를 간단한 형태로 변형하는 것인데, 이번 문제에서 사용한 반각공식, 부분분수는 아주 많이 사용되는 테크닉이니 반드시 잘 익혀둬야한다.

 

 

 

 

풀이)

 

$f(x) =\log(1+\cos x)$에 대한 곡선의 길이는

$$\int_0^{\pi/2} \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$

이다.

먼저 피적분함수를 간단히 해보자.

 $$\begin{align} &\sqrt{1+(f'(x))^2} \\ &=\sqrt{1+(\cfrac{-\sin x}{1+ \cos x})^2} \\&= \cfrac{\sqrt{2+2\cos x}}{1+\cos x} \\&=  \cfrac{2\cos \frac{x}{2}}{2\cos ^2 \frac{x}{2}} \\&=\cfrac{\cos \frac{x}{2}}{1-\sin ^2 \frac{x}{2}} \\&=\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\cos \frac{x}{2}}{1+\sin \frac{x}{2}} + \cfrac{\cos \frac{x}{2}}{1-\sin \frac{x}{2}} \right) \end{align}$$

적분가능한 형태까지 변형했기 떄문에 이제 곡선의 길이를 구하면,

$$\begin{align} &\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx \\&=\cfrac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \left(\cfrac{\cos \frac{x}{2}}{1+\sin \frac{x}{2}} + \cfrac{\cos \frac{x}{2}}{1-\sin \frac{x}{2}} \right)dx \\&= \cfrac{1}{2} \left[2\log(1+\sin \frac{x}{2}) - 2\log (1-\sin \frac{x}{2})\right]_0^{\pi/2}\\&=\log \left(1+\cfrac{\sqrt2}{2}\right)-\log \left(1-\cfrac{\sqrt2}{2}\right)\\&=\log \cfrac{2+\sqrt2}{2-\sqrt2}\\&=\log(3+2\sqrt2) \end{align}$$