교토대 2021-4(이과)

 

 

 

곡선 $y=\log (1+\cos x)(0\le x\le \frac{\pi }{2})$ 의 길이를 구하여라.

 

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생각해보기)

 

곡선의 길이를 구하는 공식은 모두 알고 있을 것이다. 문제는 피적분함수를 간단한 형태로 변형하는 것인데, 이번 문제에서 사용한 반각공식, 부분분수는 아주 많이 사용되는 테크닉이니 반드시 잘 익혀둬야한다.

 

 

 

 

풀이)

 

$f(x)=\log (1+\cos x)$에 대한 곡선의 길이는

$${\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$$

이다.

먼저 피적분함수를 간단히 해보자.

 $$\begin{array}{rl}& \sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}\\ & =\sqrt{1+(\frac{-\sin x}{1+\cos x}{)}^2}\\ & =\frac{\sqrt{2+2\cos x}}{1+\cos x}\\ & =\frac{2\cos \frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}\\ & =\frac{\cos \frac{x}{2}}{1-{\sin }^2\frac{x}{2}}\\ & =\frac{1}{2}(\frac{\cos \frac{x}{2}}{1+\sin \frac{x}{2}}+\frac{\cos \frac{x}{2}}{1-\sin \frac{x}{2}})\end{array}$$

적분가능한 형태까지 변형했기 떄문에 이제 곡선의 길이를 구하면,

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}(\frac{\cos \frac{x}{2}}{1+\sin \frac{x}{2}}+\frac{\cos \frac{x}{2}}{1-\sin \frac{x}{2}})dx\\ & =\frac{1}{2}{[2\log (1+\sin \frac{x}{2})-2\log (1-\sin \frac{x}{2})]}_0^{\pi /2}\\ & =\log (1+\frac{\sqrt{2}}{2})-\log (1-\frac{\sqrt{2}}{2})\\ & =\log \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\\ & =\log (3+2\sqrt{2})\end{array}$$