교토대 2021-6(이과)

 

 

 

 

1) 2이상의 정수 $n$에 대해 $3^n-2^n$이 소수이면 $n$도 소수임을 보여라.

2) 1이상의 상수 $a$에 대해 미분 가능한 함수 $f(x)$가 $f(a)=af(1)$을 만족하면, $y=f(x)$는 원점을 지나는 접선을 가짐을 보여라.

 

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생각해보기)

 

1) 이 문제와 같이 주어진 명제를 그 자체로 증명하기 힘들 땐, 동치인 대우명제를 생각해보면 된다. 그리고 많은 경우에 문제가 쉬워지는걸 볼 수 있을 것이다.

 

2) 뭔가 평균값정리를 쓴다는 것 까진 감이 왔다면 반은 해결한 것이다. 문제는 평균값정리를 적용할 함수 $g(x)$를 찾는 것인데, 결국 이런 류의 문제를 많이 풀어보고 주어진 조건의 모양을 잘 살펴볼 수 밖에 없다. 

 

 

 

 

풀이) 

 

1) 대우 명제 $n$이 소수가 아니면 $3^n-2^n$이 소수가 아님을 보이자.

$n$이 합성수이므로 $n=ab$를 만족하는 2이상의 정수 $a, b$가 존재한다. $A=3^a, B=2^a$라 하면,

$\begin{align} &\quad 3^n-2^n\\&=3^{ab}-2^{ab}\\&=A^b-B^b\\&=(A-B)(A^{b-1}+A^{b-2}B+ \cdots AB^{b-2} +B^{b-1}) \end{align}$

$A-B$는 2보다 큰 정수이기 때문에 $3^n-2^n$은 소수가 아니다.

 

 

2) $x>0$의 범위에서 함수 $g(x)$를 $g(x)=\cfrac{f(x)}{x}$라 정의하자. 

$g(1)=f(1), g(a)=\cfrac{f(a)}{a}=f(1)$ 이고 $g(x)$는 $x>0$에서 미분가능한 함수이기 때문에, 평균값정리 or 롤의 정리에 의해

$$g'(p)=\cfrac{g(a)-g(1)}{a-1}=0$$

을 만족하는 점 $p$가 $(0,a)$사이에 존재한다.

$g'(p)=0 \Leftrightarrow pf'(p)-f(p)=0$이고, 점 $p$에서의 $f(x)$에 대한 접선의 방정식은

$y = f'(p)(x-p)+f(p)=f'(p)x$ 이므로 원점을 지난다.