오사카대 2021-1(문과)

 

 

 

 

실수 $a$와 포물선 $C:y=x^2$에 대해 다음 물음에 답하여라.

 

1) 점 $A(a,-1)$을 지나는 $C$의 접선은 2개 있음을 보여라.

2) 점 $A(a,-1)$에서의 접선과 $C$의 접점을 각각 $P,Q$라 하자. 직선 $PQ$의 방정식은 $y=2ax+1$임을 보여라.

3) 점 $A(a,-1)$와 직선 $y=2ax+1$ 사이의 거리를 $L$이라고 할 때, $L$의 최솟값을 구하여라.

 

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생각해보기)

 

기본에 충실하면 해결할 수 있는 문제들이다. 2)의 경우 $P,Q$의 $x$좌표를 미지수로 잡고 근과 계수를 적용시키는 연습이 필요하다.

3) 역시 $L$이나 $L^2$를 힘들게 미분해서 답을 찾을 수도 있지만, 최솟값문제는 미분 이전에 산술-기하평균을 적용시킬 수 있는지 먼저 체크 하는 습관을 들이자.

 

 

 

 

풀이)

 

1) $f(x)=x^2$이라 하면, $C$위의 한 점 $(t,f(t))$에서의 접선의 방정식은

$$y=f'(t)(x-t)+t^2=2tx-t^2$$

이 된다. 이 접선이 점 $A(a,-1)$를 지나기 때문에,

$$-1=2at-t^2$$

$$t^2-2at-1=0$$

이고, 판별식 $D/4=a^2+1$가 $a$에 관계없이 0보다 크기 때문에 항상 서로 다른 두 접점을 가진다. 따라서 점 $A$에서의 접선은 2개다.

 

 

 

2) 두 접점 $P, Q$의 $x$좌표를 각각 $\alpha, \beta$라 하자. 1)에 의해 $\alpha, \beta$는 $t^2-2at-1=0$의 서로 다른 두 실근이다. 근과 계수의 관계에 의해, 

$$\alpha +\beta = 2a \qquad \alpha \cdot \beta = -1$$

가 성립하게 되고 직선 $PQ$의 방정식은

$$y=\cfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha}(x-\alpha)+f(\alpha)$$

$$y=\cfrac{\beta ^2 -\alpha ^2}{\beta - \alpha}(x-\alpha)+\alpha ^2 = 2ax+1$$

 

 

 

3) 점 $A(a, -1)$와 직선 $2ax-y+1=0$사이의 거리 $L$은,

$$L = \cfrac{|2a\cdot a -1 \cdot -1 +1|}{(2a)^2 +(-1)^2} = \cfrac{2(a^2+1)}{\sqrt{4a^2+1}}$$

$L>0$이므로, $L^2$이 최소가 될 때 $L$도 최소가 된다. 이를 이용하면,

$$L^2 = \cfrac{4(a^2+1)^2}{4a^2+1}=a^2+\cfrac{7}{4}+\cfrac{9}{4}\cdot\cfrac{1}{4a^2+1}$$

$$L^2 = \cfrac{1}{4}(4a^2+1)+\cfrac{6}{4}+\cfrac{9}{4}\cfrac{1}{4a^2+1}=\cfrac{1}{4}\left(4a^2+1+\cfrac{9}{4a^2+1}\right)+\cfrac{3}{2} \geq \cfrac{6}{4}+\cfrac{3}{2}=3$$

산술-기하평균에 의해 $L$은 $4a^2+1=\cfrac{9}{4a^2+1}$를 만족하는 실수 $a=\pm\cfrac{\sqrt2}{2}$에 대해 최솟값 $\sqrt3$을 가진다.