오사카대 2021-2(문과, 이과)

 

 

 

한 평면위에 있지 않은 4점 $O, A, B, C$가 있다. 실수 $0<s,t<1$에 대해 선분 $OA$를 1:1 로 내분하는 점을 $A_0$, 선분 $OB$를 1:2로 내분하는 점을 $B_0$, 선분 $AC$를 $s:1-s$로 내분하는 점을 $P$, 선분 $BC$를 $t:1-t$로 내분하는 점을 $Q$라고 하자. 그리고 이 때 4점 $A_0, B_0, P, Q$는 한 평면 위에 있다.

 

1) $t$를 $s$로 나타내어라.

2) $|\overrightarrow{OA}|=1, |\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=2, \angle AOB = 120^\circ, \angle BOC = 90^\circ, \angle COA = 60^\circ, \angle POQ = 90^\circ$ 일 때, $s$의 값을 구하여라.

 

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생각해보기)

 

1) 네 점이 한 평면 위에 있을 때 한 점의 위치벡터를 나머지 3점의 위치벡터의 일차 결합으로 나타낼 수 있고, 그 때의 계수의 합이 1이라는 사실이 중요하다. 조금 생소할지도 모르겠지만 이것은 우리가 직선 AB위에 있는 점 P를 계수의 합이 1인 두 위치벡터 OA, OB의 합으로 표현했던 것의 자연스러운 확장 버전임을 인식하면 조금 나을지도 모르겠다.

 

 

 

 

 

풀이)

 

1) $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$라 하자. 문제의 조건으로 부터 나머지 벡터들을 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$로 먼저 나타내면,

$$\overrightarrow{OA_0}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{a} \quad \overrightarrow{OB_0}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{b} \quad \overrightarrow{OP}=(1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{c} \quad \overrightarrow{OQ}=(1-t)\overrightarrow{b} + t \overrightarrow{c}$$

$A_0, B_0, P, Q$가 한 평면 위의 네 점이기 때문에, $\alpha + \beta + \gamma =1$에 대해

$$\overrightarrow{OP}=\alpha\overrightarrow{OA_0}+\beta\overrightarrow{OB_0}+\gamma\overrightarrow{OQ}$$

인 $\alpha ,  \beta , \gamma$ 가 존재한다.

$$\begin{align} \overrightarrow{OP}&=\alpha\overrightarrow{OA_0}+\beta\overrightarrow{OB_0}+\gamma\overrightarrow{OQ}\\&=\alpha \cdot \cfrac{1}{2}\overrightarrow{a}+\beta \cdot \cfrac{1}{3}\overrightarrow{b} +\gamma \{(1-t)\overrightarrow{b} +t\overrightarrow{c} \}\\&=\cfrac{1}{2}\alpha\overrightarrow{a}+\{\cfrac{1}{3}\beta+\gamma(1-t)\}\overrightarrow{b}+\gamma t \overrightarrow{c} \end{align}$$

최초에 정의한 $\overrightarrow{OP}$와 계수비교를 하면,

 

$$ \left\{\begin{align}&1-s=\cfrac{1}{2}\alpha \\ &0 = \cfrac{1}{3}\beta+\gamma (1-t) \\ &s = \gamma t\end{align}\right. $$

$\alpha = 2-2s , \beta = 3\gamma (t-1) , \gamma = \cfrac{s}{t}$를 $\alpha +\beta + \gamma =1$에 대입하고 정리하면 $t = \cfrac{2s}{s+1}$을 얻는다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) 주어진 조건으로부터

$$ \begin{align} & \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|| \overrightarrow{b}|\cos 120^\circ =-1 \\&\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=0\\&\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=|\overrightarrow{c}|| \overrightarrow{a}|\cos 60^\circ = 1 \end{align}$$

이제 $\angle POQ = 90^\circ$에서 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0$이므로 그 내적을 계산해보면,

$$\begin{align} \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}&=\{(1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{c}\}\cdot\{(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\}\\&=(1-s)(1-t)\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} +s(1-t)\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+ t(1-s)\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}+st|\overrightarrow{c}|^2\\&=-(1-s)(1-t)+t(1-s)+4st\\&=2t(s+1)+s-1\\&=2\cdot \cfrac{2s}{s+1}\cdot(s+1)+s-1\\&=5s-1 \end{align}$$

$\therefore s = \cfrac{1}{5}$