오사카대 2021-3(문과) (이과4)

 

 

 

정수 $a,b,c$에 대한 다음 조건(*)이 주어져 있다.

$${\int }_a^c(x^2+bx)dx={\int }_b^c(x^2+ax)dx(\ast )$$

 

1) 정수 $a,b,c$가 조건 (*)를 만족하고 $a\ne b$이면 $c$는 3의 배수임을 보여라.

2) $c=3600$ 일 때, 조건 (*)와 $a<b$를 만족하는 순서쌍 $(a,b)$의 개수를 구하여라.

 

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생각해보기)

 

주어진 정적분을 계산하고 인수분해하고 나면, $c$가 3의 배수이려면 $a,b$는 어떤 꼴이어야 하는지에 대한 생각을 자연스럽게하게 된다. 3으로 나눈 나머지를 기준으로 $a,b$를 분류한다는 생각까지 했다면 다음 과정은 자연스럽게 마무리 될 것이다.

 

 

 

풀이)

 

1)

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^c(x^2+bx)dx={\int }_b^c(x^2+ax)dx& \Rightarrow {[\frac{1}{3}{x}^3+\frac{b}{2}{x}^2]}_a^c={[\frac{1}{3}{x}^3+\frac{a}{2}{x}^2]}_b^c\\ & \Rightarrow \frac{1}{3}(c^3-a^3)+\frac{b}{2}(c^2-a^2)=\frac{1}{3}(c^3-a^3)+\frac{a}{2}(c^2-a^2)\\ & \Rightarrow (a-b)(3c^2+2a^2+5ab+2b^2)=0\\ & \Rightarrow 3c^2+2a^2+5ab+2b^2=0\\ & \Rightarrow 3c^2=-(2a+b)(a+2b)\end{array}$$

좌변이 3의 배수이므로, 우변도 3의 배수여야 한다. 우변이 3의 배수가 될 $a,b$의 조건을 살펴보자.

$a=3k+r_1$, $b=3m+r_2$ $(r_1,r_2=0,1,2)$로 놓고 대입해서 살펴보면 $r_1=r_2$ 일 때만 우변이 3의 배수가 됨을 알 수 있다. 즉, 다음의 3가지 경우에만 우변이 3의 배수가 된다.

$$a=3k,b=3ma=3k+1,b=3m+1a=3k+2,b=3m+2$$

셋 중 어떤 경우든지 $(2a+b),(a+2b)$ 모두 3의 배수가 되어 우변이 9의 배수가 됨을 알 수 있다. 양변의 3을 약분하고 나면 $c^2$이 3의 배수가 되고, 이 떄 $c$ 역시 3의 배수이어야 한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) 

 

$c=3600=2^4\cdot 3^2\cdot 5^2$을 소인수 분해 되고 (1)에서 얻은 식에 대입하면,

$$(2a+b)(a+2b)=-2^8\cdot 3^5\cdot 5^4$$

이다. 1)에서 $(2a+b),(a+2b)$가 항상 3의 배수라고 했기 때문에, $2a+b=3k,a+2b=3l$을 만족하는 정수 $k,l$이 존재한다. 이 때, $(a,b)=(2k-l,2l-k)$이고 $(k,l)$ 한 쌍에 $(a,b)$ 한 쌍이 대응한다. 위 식에 대입하면 $kl=-2^8\cdot 3^3\cdot 5^4$이다.

$kl<0$이고 가정에 의해

$$\begin{array}{rl}a<b& \Rightarrow (2a+b)-(a+2b)<0\\ & \Rightarrow 3k-3l<0\\ & \Rightarrow k<0<l\end{array}$$

이다.

$kl=-2^8\cdot 3^3\cdot 5^4$의 약수의 개수가 $(8+1)\cdot (3+1)\cdot (4+1)=180$이고 $k$가 결정되면 $l$도 자동을 결정되기 때문에 순서쌍 $(k,l)$의 개수가 180이고 순서쌍 $(a,b)$의 개수도 180개가 된다.