오사카대 2021-3(문과) (이과4)

 

 

 

정수 $a, b, c$에 대한 다음 조건(*)이 주어져 있다.

$$\int_a^c (x^2+bx)dx=\int_b^c (x^2+ax)dx \quad (*)$$

 

1) 정수 $a, b, c$가 조건 (*)를 만족하고 $a \neq b$이면 $c$는 3의 배수임을 보여라.

2) $c=3600$ 일 때, 조건 (*)와 $a<b$를 만족하는 순서쌍 $(a,b)$의 개수를 구하여라.

 

---

 

 

생각해보기)

 

주어진 정적분을 계산하고 인수분해하고 나면, $c$가 3의 배수이려면 $a,b$는 어떤 꼴이어야 하는지에 대한 생각을 자연스럽게하게 된다. 3으로 나눈 나머지를 기준으로 $a,b$를 분류한다는 생각까지 했다면 다음 과정은 자연스럽게 마무리 될 것이다.

 

 

 

풀이)

 

1)

$$\begin{align} \int_a^c (x^2+bx)dx=\int_b^c (x^2+ax)dx & \Rightarrow \left[\cfrac{1}{3}x^3 +\cfrac{b}{2}x^2\right]_a^c = \left[\cfrac{1}{3}x^3 +\cfrac{a}{2}x^2\right]_b^c\\&\Rightarrow \cfrac{1}{3}(c^3-a^3)+\cfrac{b}{2}(c^2-a^2)=\cfrac{1}{3}(c^3-a^3)+\cfrac{a}{2}(c^2-a^2)\\&\Rightarrow (a-b)(3c^2+2a^2+5ab+2b^2)=0\\&\Rightarrow 3c^2+2a^2+5ab+2b^2=0\\&\Rightarrow 3c^2 =-(2a+b)(a+2b) \end{align}$$

좌변이 3의 배수이므로, 우변도 3의 배수여야 한다. 우변이 3의 배수가 될 $a, b$의 조건을 살펴보자.

$a=3k+r_1$, $b=3m+r_2$ $(r_1, r_2 = 0, 1, 2)$로 놓고 대입해서 살펴보면 $r_1=r_2$ 일 때만 우변이 3의 배수가 됨을 알 수 있다. 즉, 다음의 3가지 경우에만 우변이 3의 배수가 된다.

$$a=3k, b=3m \quad a=3k+1, b=3m+1 \quad a=3k+2, b=3m+2$$

셋 중 어떤 경우든지 $(2a+b), (a+2b)$ 모두 3의 배수가 되어 우변이 9의 배수가 됨을 알 수 있다. 양변의 3을 약분하고 나면 $c^2$이 3의 배수가 되고, 이 떄 $c$ 역시 3의 배수이어야 한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) 

 

$c=3600=2^4\cdot3^2 \cdot5^2$을 소인수 분해 되고 (1)에서 얻은 식에 대입하면,

$$(2a+b)(a+2b)=-2^8\cdot3^5\cdot5^4$$

이다. 1)에서 $(2a+b), (a+2b)$가 항상 3의 배수라고 했기 때문에, $2a+b=3k, a+2b=3l$을 만족하는 정수 $k, l$이 존재한다. 이 때, $(a,b)=(2k-l,2l-k)$이고 $(k,l)$ 한 쌍에 $(a,b)$ 한 쌍이 대응한다. 위 식에 대입하면 $kl=-2^8\cdot3^3\cdot5^4$이다.

$kl<0$이고 가정에 의해

$$\begin{align} a<b &\Rightarrow (2a+b)-(a+2b)<0\\&\Rightarrow 3k-3l <0 \\&\Rightarrow k<0<l \end{align}$$

이다.

$kl=-2^8\cdot3^3\cdot5^4$의 약수의 개수가 $(8+1)\cdot(3+1)\cdot(4+1)=180$이고 $k$가 결정되면 $l$도 자동을 결정되기 때문에 순서쌍 $(k,l)$의 개수가 180이고 순서쌍 $(a,b)$의 개수도 180개가 된다.