오사카대 2021-5(이과)

 

 

 

1) 실수 $a$에 대한 방정식 $x-\tan x=a$의 해 중에서 $|x|<\frac{\pi }{2}$를 만족하는 해는 단 1개 존재함을 보여라.

 

2) 자연수 $n$에 대한 방정식 $x-\tan x=n\pi (|x|<\frac{\pi }{2})$의 해를 $x_n$이라고 하자. 곡선 $C:y=\sin x$가 있고, $|t|<\frac{\pi }{2}$ 인 $C$ 위의 점 $P(t,\sin t)$에서의 접선이 곡선 $C$와 $x\ge \frac{\pi }{2}$인 부분에서 접할 필요충분조건은 $t$가 $x_1,x_2,x_3,\cdots$ 일 때 임을 보여라.

 

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생각해보기)

 

2)는 필요충분조건 문제로 두 가지 방향에서의 증명이 다 필요하다. 하지만 문제가 긴 한 문장으로 표현되어 있어 한 눈에 잘 들어오지 않는다면 다음과 같이 문제를 간소화 시켜보자.

 

조건 $A$ : 두 접선 $l_1,l_2$가 일치한다. 

조건 $B$ : $t=x_N$ 이다.

 

두 조건 $A,B$의 필요충분조건을 묻는 문제임으로,

(1) $A\Rightarrow B$, (2) $B\Rightarrow A$를 각각 보이면 충분하다.

 

 

 

 

풀이)

 

1) $f(x)=x-\tan x(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2})$라 하면,

$$f^{\prime }(x)=1-{\sec }^{2}x=-{\tan }^{2}x\le 0$$ 

$${\displaystyle \underset{x\to -\frac{\pi }{2}+0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty },{\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{2}-0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}}$$

이다. 다시말해 $f(x)$는 연속인 단조감소함수이고 치역이 실수 전체이기 때문에 $f(x)=a$를 만족하는 $x$는 $|x|<\frac{\pi }{2}$에서 유일하게 존재한다.

 

 

 

 

2) $P$에서의 접선 $l_1$의 방정식은

$$l_1:y=\cos t(x-t)+\sin t$$

이고, $s\ge \frac{\pi }{2}$인 실수 $s$에 대하여 점 $Q(s,\sin s)$에서의 접선 $l_2$의 방정식은

$$l_2:y=\cos s(x-s)+\sin s$$

이다. 두 접선 $l_1,l_2$가 일치하는 경우의 조건을 정리해서 쓰면

$$\{\begin{array}{rl}& \cos t=\cos s\cdots (1)\\ & -t\cos t+\sin t=-s\cos s+\sin s\cdots (2)\\ & s\ge \pi /2\cdots (3)\end{array}$$

을 만족하는 실수 $s$가 있다는 것이다.

 

($\Rightarrow$)

 

조건 (1), (2), (3)을 만족하는 실수 $s$가 존재한다고 가정하자. 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식에 의해 (1) 조건은 

$$-2\sin \frac{s+t}{2}\sin \frac{s-t}{2}=0$$

$$\sin \frac{s+t}{2}=0or\sin \frac{s-t}{2}=0$$

먼저 $\sin \frac{s-t}{2}=0$이라면, 

$$\frac{s-t}{2}=M\pi s=t+2M\pi$$

인 정수 $M$이 존재하고 조건 (3)으로 부터 $M>0$이어야 한다.

조건 (2)에 대입하고 식을 정리해보자.

$$\begin{array}{rl}& -t\cos t+\sin t=-(t+2M\pi )\cos (t+2M\pi )+\sin (t+2M\pi )\\ & -t\cos t+\sin t=-(t+2M\pi )\cos t+\sin t\\ & 2M\pi =0(\because \cos t>0)\end{array}$$

$M=0$이 되어 $M>0$이라는 조건에 모순이 된다.

다음으로 $\sin \frac{s+t}{2}=0$인 경우에는, 

$$\frac{s+t}{2}=N\pi s=-t+2N\pi$$

인 정수 $N$이 존재하고 마찬가지로 조건 (3)에 의해 $N>0$이다.

조건 (2)에 대입하고 식을 정리해보자.

$$\begin{array}{rl}& -t\cos t+\sin t=-(-t+2N\pi )\cos (-t+2N\pi )+\sin (-t+2N\pi )\\ & -t\cos t+\sin t=(t-2N\pi )\cos t-\sin t\\ & -t+\tan t=t-2N\pi -\tan t\\ & t-\tan t=N\pi \end{array}$$

이 되어 $t-\tan t=N\pi$를 만족하는 $|t|<\frac{\pi }{2}$인 $t$는 1)에 의해  $t=x_N$으로 단 1개 존재한다.

 

 

($\Leftarrow$)

 

역으로 $t=x_N$ 이라고 가정하자. 실수 $s$를 $s=-t+2N\pi$로 놓으면 모든 자연수 $N$에 대해 조건 (1), (2), (3) 을 만족한다.

 

이상으로 구하고자하는 필요충분조건은 $t$가 $x_1,x_2,x_3\cdots$ 일 때임이 증명되었다.