오사카대 2021-5(이과)

 

 

 

1) 실수 $a$에 대한 방정식 $x-\tan x=a$의 해 중에서 $|x|<\cfrac{\pi}{2}$를 만족하는 해는 단 1개 존재함을 보여라.

 

2) 자연수 $n$에 대한 방정식 $x-\tan x=n\pi \left( |x| < \cfrac{\pi}{2}\right)$의 해를 $x_n$이라고 하자. 곡선 $C:y=\sin x$가 있고, $|t|<\cfrac{\pi}{2}$ 인 $C$ 위의 점 $P(t, \sin t)$에서의 접선이 곡선 $C$와 $x \geq \cfrac{\pi}{2}$인 부분에서 접할 필요충분조건은 $t$가 $x_1,x_2,x_3, \cdots$ 일 때 임을 보여라.

 

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생각해보기)

 

2)는 필요충분조건 문제로 두 가지 방향에서의 증명이 다 필요하다. 하지만 문제가 긴 한 문장으로 표현되어 있어 한 눈에 잘 들어오지 않는다면 다음과 같이 문제를 간소화 시켜보자.

 

조건 $A$ : 두 접선 $l_1, l_2$가 일치한다. 

조건 $B$ : $t = x_N$ 이다.

 

두 조건 $A, B$의 필요충분조건을 묻는 문제임으로,

(1) $A \Rightarrow B$, (2) $B \Rightarrow A$를 각각 보이면 충분하다.

 

 

 

 

풀이)

 

1) $f(x) =x - \tan x \left( -\cfrac{\pi}{2} <x < \cfrac{\pi}{2}\right)$라 하면,

$$f'(x) = 1- \sec ^2 x=- \tan ^2 x \leq 0$$ 

$$\displaystyle{\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+0}}f(x) = \infty , \quad \displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0}}f(x) =- \infty $$

이다. 다시말해 $f(x)$는 연속인 단조감소함수이고 치역이 실수 전체이기 때문에 $f(x)=a$를 만족하는 $x$는 $|x|<\cfrac{\pi}{2}$에서 유일하게 존재한다.

 

 

 

 

2) $P$에서의 접선 $l_1$의 방정식은

$$l_1:y = \cos t(x-t) + \sin t$$

이고, $s \geq \cfrac{\pi}{2}$인 실수 $s$에 대하여 점 $Q(s,\sin s)$에서의 접선 $l_2$의 방정식은

$$l_2: y = \cos s(x-s) +\sin s$$

이다. 두 접선 $l_1, l_2$가 일치하는 경우의 조건을 정리해서 쓰면

$$ \left\{\begin{align}&\cos t = \cos s \qquad \cdots (1)\\ & -t\cos t +\sin t = -s \cos s + \sin s \cdots (2) \\ &s \geq \pi /2 \qquad \cdots (3) \end{align}\right. $$

을 만족하는 실수 $s$가 있다는 것이다.

 

($\Rightarrow$)

 

조건 (1), (2), (3)을 만족하는 실수 $s$가 존재한다고 가정하자. 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식에 의해 (1) 조건은 

$$-2 \sin\cfrac{s+t}{2}\sin \cfrac{s-t}{2} = 0$$

$$ \sin\cfrac{s+t}{2}=0 \quad or \quad \sin\cfrac{s-t}{2}=0$$

먼저 $\sin\cfrac{s-t}{2}=0$이라면, 

$$\cfrac{s-t}{2}=M\pi \quad s =  t + 2M\pi$$

인 정수 $M$이 존재하고 조건 (3)으로 부터 $M>0$이어야 한다.

조건 (2)에 대입하고 식을 정리해보자.

$$\begin{align}&-t\cos t + \sin t = -(t+2M\pi)\cos (t+2M\pi)+\sin (t+2M\pi)\\&-t \cos t + \sin t = -(t+2M\pi) \cos t +\sin t\\&2M \pi = 0 (\because \cos t >0)\end{align}$$

$M=0$이 되어 $M>0$이라는 조건에 모순이 된다.

다음으로 $\sin\cfrac{s+t}{2}=0$인 경우에는, 

$$\cfrac{s+t}{2}=N\pi \quad s = -t +2N\pi$$

인 정수 $N$이 존재하고 마찬가지로 조건 (3)에 의해 $N>0$이다.

조건 (2)에 대입하고 식을 정리해보자.

$$\begin{align}&-t\cos t + \sin t = -(-t+2N\pi)\cos (-t+2N\pi)+\sin (-t+2N\pi) \\&-t \cos t + \sin t = (t-2N\pi) \cos t -\sin t \\&-t +\tan t = t- 2N\pi - \tan t \\&t - \tan t = N \pi \end{align}$$

이 되어 $t - \tan t = N \pi$를 만족하는 $|t|<\cfrac{\pi}{2}$인 $t$는 1)에 의해  $t=x_N$으로 단 1개 존재한다.

 

 

($\Leftarrow$)

 

역으로 $t=x_N$ 이라고 가정하자. 실수 $s$를 $s = -t +2N\pi$로 놓으면 모든 자연수 $N$에 대해 조건 (1), (2), (3) 을 만족한다.

 

이상으로 구하고자하는 필요충분조건은 $t$가 $x_1, x_2, x_3 \cdots$ 일 때임이 증명되었다.