도쿄대 2020-2(이과)

 

 

 

 

 

한 평면 위의 세 점 $P,Q,R$이 한 직선 위에 있지 않을 때, 그 세 점을 연결한 삼각형의 넓이를 $\mathrm{△}PQR$ 이라고 하자. 세 점 $P,Q,R$이 한 직선 위에 있을 때는 $\mathrm{△}PQR=0$라고 하자.

$\mathrm{△}ABC=1$인 세 점 $A,B,C$가 한 평면 위에 있다. 이 평면 위의 점 $X$가
$$2\le \mathrm{△}ABX+\mathrm{△}BCX+\mathrm{△}CAX\le 3$$
을 만족하면서 움직일 때, $X$가 움직일 수 있는 영역의 넓이를 구하여라.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

주어진 조건이라고는 삼각형의 넓이 밖에 없는 상황이다. 그래서 무작정 좌표를 써서 문제를 풀 수도 없다. 황당한 문제인 것 같지만, 일단 그림을 그리고 침착하게 $X$가 있을 수 있는 범위를 생각해보자. 생각만 잘 한다면, 중학교 수학으로 풀 수 있는 재밌는 문제인 것 같다!

 

 

 

 

 

 

 풀이

 

 

$X$가 삼각형 $ABC$의 변이나 내부에 위치 하면,

$$\mathrm{△}ABX+\mathrm{△}BCX+\mathrm{△}CAX=\mathrm{△}ABC=1$$

이므로 $X$는 최소한 $\mathrm{△}ABC$의 외부에 위치해야 한다.

$X$가 위치할 수 있는 2가지 타입을 살펴보자.

 

 

위 그림처럼 $X$는 파란 부분에 있는 경우와 빨간 부분에 있는 2가지 경우로 나눌 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) 파란부분에 $X$가 있는 경우 

 

 

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{△}ABX+\mathrm{△}BCX+\mathrm{△}CAX\\ =& \mathrm{△}ABC+2\mathrm{△}BCX\\ =& 1+2\mathrm{△}BCX\end{array}$$

이고, $X$가 조건을 만족시키는 경우는 $$\frac{1}{2}\le \mathrm{△}BCX\le 1$$인 경우 이다.

 

즉, 위 그림의 색칠된 사각형 $DEFG$가 $X$의 자취의 영역이다. 이 때, $DE$, $FG$는 $BC$와 평행하고, $BD=DG=\frac{1}{2}AB$, $CE=EF=\frac{1}{2}AC$이다. 따라서 이 영역의 넓이는, $$2^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{7}{4}$$이고 같은 영역이 3개 있기 때문에 $\frac{21}{4}$가 된다.

 

 

2) 빨간부분에 $X$가 있는 경우

 

 

$$\mathrm{△}ABX+\mathrm{△}BCX+\mathrm{△}CAX=2\mathrm{△}ABX-1$$

이고, $X$가 조건을 만족시키는 경우는 $$\frac{3}{2}\le \mathrm{△}ABX\le 2$$인 경우이다.

 

 

즉, 위 그림의 색칠된 사각형 $DEFG$가 $X$의 자취의 영역이다. 이 때, $DE$, $FG$는 $AB$와 평행하고, $CD=DG=\frac{1}{2}AC$, $CE=EF=\frac{1}{2}BC$이다. 따라서 이 영역의 넓이는, $$1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$$이고 같은 영역이 마찬가지로 3개 있기 때문에 $\frac{9}{4}$

 

 

1), 2)에 의해서 구하는 총 면적은 $\frac{21}{4}+\frac{9}{4}=\frac{15}{2}$이다.