도쿄대 2020-2(이과)

 

 

 

 

 

한 평면 위의 세 점 $P, Q, R$이 한 직선 위에 있지 않을 때, 그 세 점을 연결한 삼각형의 넓이를 $\triangle PQR$ 이라고 하자. 세 점 $P, Q, R$이 한 직선 위에 있을 때는 $\triangle PQR =0$라고 하자.

$\triangle ABC = 1$인 세 점 $A, B, C$가 한 평면 위에 있다. 이 평면 위의 점 $X$가
$$2 \leq \triangle ABX + \triangle BCX + \triangle CAX \leq 3$$
을 만족하면서 움직일 때, $X$가 움직일 수 있는 영역의 넓이를 구하여라.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

주어진 조건이라고는 삼각형의 넓이 밖에 없는 상황이다. 그래서 무작정 좌표를 써서 문제를 풀 수도 없다. 황당한 문제인 것 같지만, 일단 그림을 그리고 침착하게 $X$가 있을 수 있는 범위를 생각해보자. 생각만 잘 한다면, 중학교 수학으로 풀 수 있는 재밌는 문제인 것 같다!

 

 

 

 

 

 

 풀이

 

 

$X$가 삼각형 $ABC$의 변이나 내부에 위치 하면,

$$\triangle ABX + \triangle BCX + \triangle CAX = \triangle ABC =1$$

이므로 $X$는 최소한 $\triangle ABC$의 외부에 위치해야 한다.

$X$가 위치할 수 있는 2가지 타입을 살펴보자.

 

 

위 그림처럼 $X$는 파란 부분에 있는 경우와 빨간 부분에 있는 2가지 경우로 나눌 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) 파란부분에 $X$가 있는 경우 

 

 

$$\begin{align} &\triangle ABX + \triangle BCX + \triangle CAX \\=&\triangle ABC + 2\triangle BCX \\=&1+2\triangle BCX \end{align}$$

이고, $X$가 조건을 만족시키는 경우는 $$ \cfrac{1}{2} \leq \triangle BCX \leq 1$$인 경우 이다.

 

즉, 위 그림의 색칠된 사각형 $DEFG$가 $X$의 자취의 영역이다. 이 때, $DE$, $FG$는 $BC$와 평행하고, $BD=DG=\cfrac{1}{2}AB$, $CE=EF=\cfrac{1}{2}AC$이다. 따라서 이 영역의 넓이는, $$ 2^2 -\left(\frac{3}{2}\right)^2 =\frac{7}{4}$$이고 같은 영역이 3개 있기 때문에 $\cfrac{21}{4}$가 된다.

 

 

2) 빨간부분에 $X$가 있는 경우

 

 

$$\triangle ABX + \triangle BCX +\triangle CAX = 2\triangle ABX -1$$

이고, $X$가 조건을 만족시키는 경우는 $$\cfrac{3}{2} \leq \triangle ABX \leq 2$$인 경우이다.

 

 

즉, 위 그림의 색칠된 사각형 $DEFG$가 $X$의 자취의 영역이다. 이 때, $DE$, $FG$는 $AB$와 평행하고, $CD=DG=\cfrac{1}{2}AC$, $CE=EF=\cfrac{1}{2}BC$이다. 따라서 이 영역의 넓이는, $$ 1^2 - \left( \frac{1}{2}\right)^2 =\frac{3}{4}$$이고 같은 영역이 마찬가지로 3개 있기 때문에 $\cfrac{9}{4}$

 

 

1), 2)에 의해서 구하는 총 면적은 $\cfrac{21}{4} + \cfrac{9}{4} = \cfrac{15}{2}$이다.