도쿄대 2020-1(이과)

 

 

 

실수 $a,b,c$에 대한 연립부등식

$$\left\{\begin{align}&ax^2+bx+c>0\\&bx^2+cx+a>0\\&cx^2+ax+b>0\end{align}\right.$$

 

의 해가 $x>p$이다.

 

1) $a,b,c$ 는 모두 0 이상임을 보여라.

2) $a,b,c$ 중 적어도 하나는 0임을 보여라.

3) $p=0$ 임을 보여라.

 

 

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생각해보기)

 

언뜻 보기에 막연해 보일수 있는 연립 부등식이지만, 부분문제를 잘 따라가면서 $a, b, c$의 범위를 점차 제한해 가다보면 부등식이 간단해짐을 알 수 있다. 그리고 부등식문제를 푸는 과정에서 부등식을 이차함수의 그래프로서 생각하면 좀 더 수월할 것 같다.

 

 

 

 

 

 

 

풀이)

 

1) $x > p$ 라는 연립 부등식의 해는 세 부등식이 모두 성립하는 공통 범위이다. 만약 $a<0$이라면, $x \to \infty$ 일 때, $ax^2+bx+c \to -\infty$ 이므로 $x>p$에서 $ax^2+bx+c>0$인 실수 $p$가 존재할 수 없다. 같은 논리로 $b,c$ 역시 음수일 수 없다. 따라서 세 실수 $a, b, c$는 모두 0 이상이다.

 

 

 

 

2) $a, b, c$가 모두 양수라면, $x \to - \infty$일 때 세 부등식 모두 양의 무한대로 발산하게 된다. 이 말인 즉슨 $x>p$ 이외에도 연립바방정식을 만족하는 해가 $x<q$의 꼴로 존재한다는 말이 된다. 따라서 $a, b, c$ 중 적어도 하나는 0 이어야 한다.

 

 

 

 

3) 2)에 의해 적어도 한 실수는 0이므로 $a=0$이라 하자. 그러면 연립부등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\left\{\begin{align}&bx+c>0\\&bx^2+cx>0\\&cx^2+b>0\end{align}\right.$$

 

① $b = 0$ 일 때,

$c>0$이므로 2번 째, 3번 째 부등식에서 양변을 $c$로 나눠주면 $x>0$이라는 해가 나오고 따라서 $p=0$ 이다.

 

②$c = 0$ 일 때,

위 ①과 마찬가지로 $b>0$이고 부등식을 정리하면 $x>0$이라는 해가 나오고 역시 $p=0$ 이다.

 

③ $b, c >0$ 일 때,

세 번 째 부등식은 모든 실수에 대해 성립한다. 나머지 두 부등식은 $bx+c>0$, $x(bx+c)>0$ 인데, 먼저 $x>0$ 일 수 밖에 없다. 그런데 $x>0$일 때, $bx+c>0$ 역시 성립하게 되어 ③의 경우 역시 연립부등식의 해는 $x>0, p=0$임을 알 수 있다.

 

이상의 3가지 경우로부터 $p=0$이다.