Processing math: 100%

본고사

도쿄대 2020-1(이과)

후플 2021. 6. 16. 17:23

 

 

 

실수 a,b,c에 대한 연립부등식

{ax2+bx+c>0bx2+cx+a>0cx2+ax+b>0

 

의 해가 x>p이다.

 

1) a,b,c 는 모두 0 이상임을 보여라.

2) a,b,c 중 적어도 하나는 0임을 보여라.

3) p=0 임을 보여라.

 

 


 

 

 

생각해보기)

 

언뜻 보기에 막연해 보일수 있는 연립 부등식이지만, 부분문제를 잘 따라가면서 a,b,c의 범위를 점차 제한해 가다보면 부등식이 간단해짐을 알 수 있다. 그리고 부등식문제를 푸는 과정에서 부등식을 이차함수의 그래프로서 생각하면 좀 더 수월할 것 같다.

 

 

 

 

 

 

 

풀이)

 

1) x>p 라는 연립 부등식의 해는 세 부등식이 모두 성립하는 공통 범위이다. 만약 a<0이라면, x 일 때, ax2+bx+c 이므로 x>p에서 ax2+bx+c>0인 실수 p가 존재할 수 없다. 같은 논리로 b,c 역시 음수일 수 없다. 따라서 세 실수 a,b,c는 모두 0 이상이다.

 

 

 

 

2) a,b,c가 모두 양수라면, x일 때 세 부등식 모두 양의 무한대로 발산하게 된다. 이 말인 즉슨 x>p 이외에도 연립바방정식을 만족하는 해가 x<q의 꼴로 존재한다는 말이 된다. 따라서 a,b,c 중 적어도 하나는 0 이어야 한다.

 

 

 

 

3) 2)에 의해 적어도 한 실수는 0이므로 a=0이라 하자. 그러면 연립부등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

{bx+c>0bx2+cx>0cx2+b>0

 

b=0 일 때,

c>0이므로 2번 째, 3번 째 부등식에서 양변을 c로 나눠주면 x>0이라는 해가 나오고 따라서 p=0 이다.

 

c=0 일 때,

위 ①과 마찬가지로 b>0이고 부등식을 정리하면 x>0이라는 해가 나오고 역시 p=0 이다.

 

b,c>0 일 때,

세 번 째 부등식은 모든 실수에 대해 성립한다. 나머지 두 부등식은 bx+c>0, x(bx+c)>0 인데, 먼저 x>0 일 수 밖에 없다. 그런데 x>0일 때, bx+c>0 역시 성립하게 되어 ③의 경우 역시 연립부등식의 해는 x>0,p=0임을 알 수 있다.

 

이상의 3가지 경우로부터 p=0이다.

 

 

 

반응형

'본고사' 카테고리의 다른 글

도쿄대 2020-3(이과)  (0) 2021.07.08
도쿄대 2020-2(이과)  (1) 2021.06.29
오사카대 2021-5(이과)  (0) 2021.06.13
오사카대 2021-3(이과)  (0) 2021.06.11
오사카대 2021-3(문과) (이과4)  (0) 2021.06.10