본고사

도쿄대 2020-3(이과)

후플 2021. 7. 8. 15:56

 

 

 

 

 

1t11t1 인 실수 tt에 대하여,x(t)=(1+t)1+tx(t)=(1+t)1+t y(t)=3(1+t)1ty(t)=3(1+t)1t라 하고 좌표평면 위의 점 P(x(t),y(t))P(x(t),y(t))를 생각하자.


1) 1<t11<t1 에서 정의된 함수 y(t)x(t)y(t)x(t)는 감소함수 임을 보이시오.

2) 원점과 점 PP 사이의 거리를 f(t)f(t)라고 하자. 1t11t1 에서 함수 f(t)f(t)의 증감을 조사하고, 최댓값을 구하시오.

3) 1t11t1에서 점 PP의 자취를 CC라고 할 때, CCxx축으로 둘러싸인 영역을 DD라고 하자. 원점을 중심으로 영역 DD를 시계방향으로 9090만큼 회전시킬 때, DD가 지나는 영역의 넓이를 구하시오.

 

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

1)에서는 무작정 미분을 해서 증감을 조사하기보다 먼저 식을 정리하면 굳이 미분하지 않고도 함수가 감소함을 쉽게 알 수 있다.

 

2)와 같이 f(t)f(t)가 항상 양수인 경우에는 {f(t)}2{f(t)}2을 계산함으로써 같은 결과를 얻을 수 있다.

 

3)은 1), 2)에서 얻은 결과를 바탕으로 먼저 CC의 개형을 그려보고, 회전시킬 때 겹치는 부분과 겹치지 않는 부분을 생각해 보아야한다. 뿐만아니라 도형을 회전시킨 상황이므로 반드시 원의 일부가 구하고자하는 영역에 포함되어 있을 것이다.

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

1) y(t)x(t)=3(1+t)1t(1+t)1+t=321+t1y(t)x(t)=3(1+t)1t(1+t)1+t=321+t1

이므로, 1<t11<t1에서 y(t)x(t)y(t)x(t)는 감소한다.

 

 

 

2) {f(t)}2={x(t)}2+{y(t)}2=(1+t)3+9(1+t)2(1t)=(1+t)2{(1+t)+9(1t)}=(1+t)2(108t)

이고, 이를 미분하면 2(1+t)(108t)8(1+t)2=(1+t){2(108t)8(1+t)}=(1+t)(1224t)=12(1+t)(12t)

이므로 {f(t)}21t12에서는 증가하고, 12t1에서는 감소한다. 그리고 함수 f(t)는 거리로 정의되어 항상 양수이기 때문에, f(t){f(t)}2의 증감 범위는 일치하게 된다. 따라서 f(t)1t12에서는 증가, 12t1에서는 감소한다.

 

이상의 결과로부터 f(t)t=12일 때 최댓값을 가짐을 알 수 있고, 그 함숫값은

f(12)=(1+12)2(10812)=362

이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) 

x(t)=(1+t)32이므로 t에 대한 증가함수이다. 1)에 의해 OP의 기울기는 단조감소하고, limt1+0y(t)x(t)=이다. 그리고 2)에 의해 OPt=12에서 최댓값 362를 가진다. 이상의 결과를 바탕으로 영역 D를 나타내보면 아래 그림과 같다.

 

 

 

이를 시계방향으로 90회전시킬 때 지나는 영역은, 아래의 그림에서 보이듯 원과 두 포물선에 의해 둘러싸인 부분 전체가 된다.

두 포물선이 접하는 원의 반지름의 길이는 바로 OP의 최댓값 362이다.

이 면적은 D의 넓이와 (빨간선으로 표시한) 4분원의 넓이의 합으로 계산할 수 있다.

 

 

먼저 D의 면적은 

220ydx=11y(t)dx(t)dtdt=113(1+t)1t321+tdt=9211(1+t)1t2dt

이다. 그런데  t1t2은 기함수이므로, 11t1t2dt=0이다. 또, 111t2dt는 반지름의 길이가 1인 반원의 넓이를 의미하기 때문에, D의 면적은 92π2=94π이다.

 

 

다음으로 4분원의 넓이는 362362π4=278π이다. 따라서 D가 지나는 영역 전체의 넓이는 94π+278π=458π이다.

 

 

 

 

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