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본고사

도쿄대 2020-5(이과)

후플 2021. 7. 18. 18:39

 

 

 

 

 


좌표공간에서 xy-평면 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원이 있다. 이 원을 밑면으로 하고 (0,0,2)를 꼭짓점으로 하는 원뿔을 S라고 하자.(원뿔의 내부도 포함한다.) 점 A(1,0,2)에 대한 다음 물음에 답하시오.


(1) 점 PS의 밑면 위를 움직일 때, 선분 AP가 지나는 부분을 T라 하자. S가 평면 z=1에 의해 잘린 단면과 Tz=1에 의해 잘린 단면을 한 평면 위에 그리시오.

(2) 점 PS 위를 움직일 때, 선분 AP가 지나는 부분의 부피를 구하시오.

 

 

 

 

생각해보기

 

 

입체에 대한 문제는 거의 항상 단면을 살펴봐야한다. 처음부터 (2)를 풀기가 힘들기 때문에 일종의 힌트로 (1)번 문제가 나와있다. 즉, (1)에서 P의 높이가 일정할 경우 AP가 지나는 단면의 모습을 먼저 구해보고, (2)에서 P의 높이가 변할 때 그려지는 단면들을 적분하라는 문제이다.

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

(1) 점 P의 좌표를 P(X,Y,0)라 하자. AP=(X1Y2)에서 선분 AP 위의 점 QOA+tAP=(102)+t(X1Y2)=(1+t(X1)tY2(1t))(0t1) 위에 있고, Qz좌표가 1이기 위한 tt=12이다. 이 때 Qx,y좌표는 x=12(X+1),y=12YX=2x1,Y=2y로 표현된다. 이를 X2+Y21에 대입하면, (x12)2+y214를 얻는다. 따라서

 

z=1에 의해 T가 잘린 단면은 (x12)2+y214이고,

 

z=1에 의해 S가 잘린 단면은 x2+y214이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) 점 PSz=k(0k<2)로 자른 단면 위의 점이라고 하자. 이 때, 점 P는 반지름이 2k2인 원 내부에서 움직인다. 점 P의 좌표를 P(X,Y,k)라 하면, AP=(X1YK2)에서 선분 AP 위의 점 Q는  OA+tAP=(102)+t(X1Yk2)=(1+t(X1)tY2+t(k2))(0t1) 위에 있고, Qz좌표가 u(ku<2)이기 위한 tt=2u2k이다. 이 때 Qx,y좌표는x=1+2u2k(X1),y=2u2kYX=2k2u(xuk2k),Y=2k2uy 이를 X2+Y2(2k)24에 대입하면 (xuk2k)2+y2(2u)24 

 

즉, AP가 지나는 부분의 z=u인 단면은 중심이 (uk2k,0)이고 반지름이 2u2인 원이다. 여기서 0ku이므로 0uk2ku2이다. 아래 그림이 바로 z=u 일 때의 단면이다.

 

 

z=u일 때의 단면의 넓이는 S(u)=π(2u)24+(2u)u2=π24u2(π1)u+π이므로 구하고자 하는 부피는 20S(u)du=π2420u2du(π1)20udu+π20du=2π+23

 

 

 

 

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