도쿄대 2020-5(이과)

 

 

 

 

 

좌표공간에서 $xy$-평면 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원이 있다. 이 원을 밑면으로 하고 $(0, 0, 2)$를 꼭짓점으로 하는 원뿔을 $S$라고 하자.(원뿔의 내부도 포함한다.) 점 $A(1, 0 ,2)$에 대한 다음 물음에 답하시오. (1) 점 $P$가 $S$의 밑면 위를 움직일 때, 선분 $AP$가 지나는 부분을 $T$라 하자. $S$가 평면 $z=1$에 의해 잘린 단면과 $T$가 $z=1$에 의해 잘린 단면을 한 평면 위에 그리시오. (2) 점 $P$가 $S$ 위를 움직일 때, 선분 $AP$가 지나는 부분의 부피를 구하시오.

 

 

 

 

생각해보기

 

 

입체에 대한 문제는 거의 항상 단면을 살펴봐야한다. 처음부터 (2)를 풀기가 힘들기 때문에 일종의 힌트로 (1)번 문제가 나와있다. 즉, (1)에서 $P$의 높이가 일정할 경우 $AP$가 지나는 단면의 모습을 먼저 구해보고, (2)에서 $P$의 높이가 변할 때 그려지는 단면들을 적분하라는 문제이다.

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

(1) 점 $P$의 좌표를 $P(X, Y, 0)$라 하자. $\overrightarrow{AP} =  \begin{pmatrix} X-1 \\ Y \\-2 \end{pmatrix}$에서 선분 $AP$ 위의 점 $Q$는 $$\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AP}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} X-1 \\ Y \\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+t(X-1) \\ tY \\2(1-t) \end{pmatrix}\quad (0\leq t \leq 1)$$ 위에 있고, $Q$의 $z$좌표가 1이기 위한 $t$는 $t=\cfrac{1}{2}$이다. 이 때 $Q$의 $x, y$좌표는 $$x =\cfrac{1}{2}(X+1), y=\cfrac{1}{2}Y \quad X=2x-1, Y=2y$$로 표현된다. 이를 $X^2 +Y^2 \leq 1$에 대입하면, $$\left(x-\cfrac{1}{2}\right)^2+y^2\leq\cfrac{1}{4}$$를 얻는다. 따라서

 

$z=1$에 의해 $T$가 잘린 단면은 $\left(x-\cfrac{1}{2}\right)^2+y^2\leq\cfrac{1}{4}$이고,

 

$z=1$에 의해 $S$가 잘린 단면은 $x^2+y^2\leq\cfrac{1}{4}$이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) 점 $P$가 $S$를 $z=k(0\leq k<2)$로 자른 단면 위의 점이라고 하자. 이 때, 점 $P$는 반지름이 $\cfrac{2-k}{2}$인 원 내부에서 움직인다. 점 $P$의 좌표를 $P(X, Y, k)$라 하면, $\overrightarrow{AP} =  \begin{pmatrix} X-1 \\ Y \\K-2 \end{pmatrix}$에서 선분 $AP$ 위의 점 Q는  $$\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AP}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} X-1 \\ Y \\k-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+t(X-1) \\ tY \\2+ t(k-2) \end{pmatrix}\quad (0\leq t \leq 1)$$ 위에 있고, $Q$의 $z$좌표가 $u(k \leq u <2)$이기 위한 $t$는 $t=\cfrac{2-u}{2-k}$이다. 이 때 $Q$의 $x, y$좌표는$$x= 1+\cfrac{2-u}{2-k}(X-1), y=\cfrac{2-u}{2-k}Y \quad \therefore X=\cfrac{2-k}{2-u}\left(x-\frac{u-k}{2-k}\right), Y=\cfrac{2-k}{2-u}y$$ 이를 $X^2 +Y^2 \leq \cfrac{(2-k)^2}{4}$에 대입하면 $\left( x-\cfrac{u-k}{2-k}\right)^2 +y^2 \leq \cfrac{(2-u)^2}{4}$ 

 

즉, $AP$가 지나는 부분의 $z=u$인 단면은 중심이 $\left(\cfrac{u-k}{2-k}, 0 \right)$이고 반지름이 $\cfrac{2-u}{2}$인 원이다. 여기서 $0 \leq k \leq u$이므로 $ 0 \leq  \cfrac{u-k}{2-k} \leq \cfrac{u}{2}$이다. 아래 그림이 바로 $z=u$ 일 때의 단면이다.

 

 

$z=u$일 때의 단면의 넓이는 $$S(u)=\pi \cfrac{(2-u)^2}{4}+(2-u)\cdot \cfrac{u}{2}=\cfrac{\pi -2}{4}u^2 -(\pi -1)u +\pi$$이므로 구하고자 하는 부피는 $$\int _0 ^2 S(u)du=\cfrac{\pi -2}{4}\int_0 ^2 u^2 du -(\pi -1)\int_0 ^2udu +\pi \int_0 ^2 du=\cfrac{2\pi +2}{3}$$