도쿄대 2020-6(이과)

 

 

 

 

 

(1) $A>1$일 때, $\theta$에 대한 방정식 $$A\sin 2\theta -\sin (\theta +\alpha )=0$$은 $0\le \theta <2\pi$의 범위에서 적어도 4개의 실근을 가짐을 보이시오.  (2) 타원 $C$ $$C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$$와, 다음 부등식의 영역 $D$ $$D:2x^2+y^2<r^2$$을 생각하자. $D$ 내부의 임의의 점$P$가 아래의 조건을 만족시키도록 하는 실수 $r(0<r<1)$이 존재함을 보이고, $r$의 최댓값을 구하시오.    조건 : $C$위의 점 $Q$에서의 접선이 직선$PQ$와 직교하는 점 $Q$가 적어도 4개 있다.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

(1)처럼 해의 존재성만을 보일 때는, '사잇값 정리'가 자주 쓰인다는 걸 다시 한 번 상기해 볼 필요가 있다.

 

 

(2)는 상당히 막연한 문제이다. 하지만 '적어도 4개' 라는 조건으로부터 (1)을 이용하는 문제임이 자명하고, 그러기 위해서는 먼저 타원 위의 한 점을 삼각함수를 이용해서 나타내어야 한다. 그런 다음에 문제의 조건을 말을 바꾸어서, 직선 $PQ$는 점 $Q$에서의 '법선'의 방정식이다라고 생각하고 식을 세워보도록 하자.

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

(1) 함수 $y=f(\theta )$를 $f(\theta )=A\sin 2\theta -\sin (\theta +\alpha )$라 하자.  $A>1$이므로, 

$$f\left(\frac{1}{4}\pi \right)=A-\sin (\frac{1}{4}\pi +\alpha )>0$$

$$f\left(\frac{3}{4}\pi \right)=-A-\sin (\frac{3}{4}\pi +\alpha )<0$$

$$f\left(\frac{5}{4}\pi \right)=A-\sin (\frac{5}{4}\pi +\alpha )>0$$

$$f\left(\frac{7}{4}\pi \right)=-A-\sin (\frac{7}{4}\pi +\alpha )<0$$

$$f\left(\frac{9}{4}\pi \right)=A-\sin (\frac{9}{4}\pi +\alpha )>0$$

이다. 함수 $y=f(\theta )$는 연속함수이기 때문에 사잇값정리에 의해, $$\frac{1}{4}\pi <{\theta }_1<\frac{3}{4}\pi ,\frac{3}{4}\pi <{\theta }_2<\frac{5}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi <{\theta }_3<\frac{7}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi <{\theta }_4<\frac{9}{4}\pi$$에서 $f({\theta }_1)=f({\theta }_2)=f({\theta }_3)=f({\theta }_4)=0$을 만족시키는 ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4$가 존재한다.

 

그런데 만약 ${\theta }_4\ge 2\pi$라면, ${\theta }_0={\theta }_4-2\pi$가 $0\le {\theta }_0<\frac{1}{4}\pi$에서 $f({\theta }_0)=0$를 만족시키는 근이 된다. 따라서 $f(\theta )=0$은 $0\le \theta <2\pi$에서 적어도 4 실근 ${\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$ 또는 ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4$를 가지게 된다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) 타원 $C$ 위의 한 점 $A$의 좌표는 $(\sqrt{2}\cos \theta ,\sin \theta )$라 둘 수 있고 $\sin \theta \cos \theta \ne 0$일 때, 점 $A$에서의 접선의 기울기는 $$x+2y{y}^{\prime }=0$$ $$y^{\prime }=-\frac{x}{2y}=-\frac{\sqrt{2}\cos \theta }{2\sin \theta }$$이다. 따라서 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 $\frac{\sqrt{2}\sin \theta }{\cos \theta }$이고, 점 $A$에서의 법선의 방정식은 $$y-\sin \theta =\frac{\sqrt{2}\sin \theta }{\cos \theta }(x-\sqrt{2}\cos \theta )$$ $$y=\frac{\sqrt{2}\sin \theta }{\cos \theta }x-\sin \theta$$ $$y\cos \theta =\sqrt{2}\sin \theta -\sin \theta \cos \theta \cdots (\star )$$이다.

 

$\sin \theta =0$일 때, 점 $A$에서의 법선의 방정식은 $y=0$이고, $\cos \theta =0$일 때는 $x=0$이므로, 두 경우 모두 $(\star )$식을 만족함을 알 수 있다.

 

우리의 문제를 정리해보면, $D$ 내부의 임의의 점 $P$를 지나고 $(\star )$를 만족하는 직선이 적어도 4개 있음을 즉, 그러한 $\theta$가 적어도 4개 있음을 보이는 것이다.

 

 

먼저 $(\pm \sqrt{2},0),(0,\pm 1)$ 4점에서의 법선은 모두 $(0,0)$을 지난다. 즉, $D$ 내부의 점 $P$가 원점일 때는 4개의 서로 다른 법선이 존재하므로, 점 $P$가 원점이 아닌 경우에 대해 알아보자.

 

$D$ 내부의 원점이 아닌 점 $P$의 좌표는 $(\frac{s\cos \alpha }{\sqrt{2}},s\sin \alpha )$ $(0<s<r,0\le \alpha <2\pi )$로 나타낼 수 있다. 그러므로 $(\star )$를 만족하는 직선이 점 $P$를 지나는 경우, $$\begin{array}{rl}s\sin \alpha \cos \theta & =\sqrt{2}\cdot \frac{s\cos \alpha }{\sqrt{2}}\sin \theta -\sin \theta \cos \theta \\ 0& =s\cos \alpha \sin \theta -s\sin \alpha \cos \theta -\frac{\sin 2\theta }{2}\\ 0& =s\sin (\theta -\alpha )-\frac{\sin 2\theta }{2}\\ 0& =\frac{1}{2}\sin 2\theta -\sin (\theta -\alpha )\cdots (\star \star )\end{array}$$가 성립한다. 문제 (1)로 부터 $A=\frac{1}{2s}>1$, 즉 $s<\frac{1}{2}$이면 위 방정식이 적어도 4 실근을 가진다는 사실이 보장된다. 따라서 $r=\frac{1}{2}$이면 $D$ 내부의 모든 점 $P$가 조건을 만족한다.

 

이제 $r=\frac{1}{2}$가 조건을 만족하는 $r$의 최댓값임을 보이기 위해서 $r>\frac{1}{2}$이면 조건을 만족하지 않음을 보이자. 즉, $r>\frac{1}{2}$일 때, 점 $P$를 지나는 $C$의 법선이 3개 이하임을 보이면 된다.

 

$(\star \star )$에서 $s=\frac{1}{2}$, $\alpha =\frac{\pi }{4}$이면, $$\sin 2\theta -\sin (\theta -\frac{\pi }{4})=0$$ $$2\cos (\frac{3}{2}\theta -\frac{\pi }{8})\sin (\frac{1}{2}\theta +\frac{\pi }{8})=0$$ 이므로 이를 만족하는 $\theta$는 $0\le \theta <2\pi$에서 $\theta =\frac{7}{4}\pi ,\frac{5}{12}\pi ,\frac{13}{12}\pi$의 3개 뿐이다. 이상으로 조건을 만족하는 $r$의 최댓값은 $\frac{1}{2}$이다.