도쿄대 2020-6(이과)

 

 

 

 

 

(1) $A>1$일 때, $\theta$에 대한 방정식 $$A\sin2\theta - \sin (\theta +\alpha)=0$$은 $0 \leq \theta <2\pi$의 범위에서 적어도 4개의 실근을 가짐을 보이시오.  (2) 타원 $C$ $$C: \cfrac{x^2}{2}+y^2 =1$$와, 다음 부등식의 영역 $D$ $$D: 2x^2 +y^2 <r^2 $$을 생각하자. $D$ 내부의 임의의 점$P$가 아래의 조건을 만족시키도록 하는 실수 $r(0<r<1)$이 존재함을 보이고, $r$의 최댓값을 구하시오.    조건 : $C$위의 점 $Q$에서의 접선이 직선$PQ$와 직교하는 점 $Q$가 적어도 4개 있다.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

(1)처럼 해의 존재성만을 보일 때는, '사잇값 정리'가 자주 쓰인다는 걸 다시 한 번 상기해 볼 필요가 있다.

 

 

(2)는 상당히 막연한 문제이다. 하지만 '적어도 4개' 라는 조건으로부터 (1)을 이용하는 문제임이 자명하고, 그러기 위해서는 먼저 타원 위의 한 점을 삼각함수를 이용해서 나타내어야 한다. 그런 다음에 문제의 조건을 말을 바꾸어서, 직선 $PQ$는 점 $Q$에서의 '법선'의 방정식이다라고 생각하고 식을 세워보도록 하자.

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

(1) 함수 $y=f(\theta)$를 $f(\theta)=A\sin 2\theta - \sin(\theta+\alpha)$라 하자.  $A>1$이므로, 

$$f\left(\frac{1}{4}\pi\right)=A-\sin \left( \frac{1}{4}\pi +\alpha\right) >0$$

$$f\left(\frac{3}{4}\pi\right)=-A-\sin \left( \frac{3}{4}\pi +\alpha\right) <0$$

$$f\left(\frac{5}{4}\pi\right)=A-\sin \left( \frac{5}{4}\pi +\alpha\right) >0$$

$$f\left(\frac{7}{4}\pi\right)=-A-\sin \left( \frac{7}{4}\pi +\alpha\right) <0$$

$$f\left(\frac{9}{4}\pi\right)=A-\sin \left( \frac{9}{4}\pi +\alpha\right) >0$$

이다. 함수 $y=f(\theta)$는 연속함수이기 때문에 사잇값정리에 의해, $$\frac{1}{4}\pi<\theta_1<\frac{3}{4}\pi, \frac{3}{4}\pi<\theta_2<\frac{5}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi<\theta_3<\frac{7}{4}\pi, \frac{7}{4}\pi<\theta_4<\frac{9}{4}\pi$$에서 $f(\theta_1)=f(\theta_2)=f(\theta_3)=f(\theta_4)=0$을 만족시키는 $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$가 존재한다.

 

그런데 만약 $\theta_4 \geq 2\pi$라면, $\theta_0=\theta_4-2\pi$가 $0 \leq \theta_0 <\cfrac{1}{4}\pi$에서 $f(\theta_0)=0$를 만족시키는 근이 된다. 따라서 $f(\theta)=0$은 $0\leq \theta <2\pi$에서 적어도 4 실근 $\theta_0, \theta_1, \theta_2, \theta_3$ 또는 $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$를 가지게 된다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) 타원 $C$ 위의 한 점 $A$의 좌표는 $(\sqrt2 \cos \theta,\sin\theta)$라 둘 수 있고 $\sin\theta\cos\theta\neq0$일 때, 점 $A$에서의 접선의 기울기는 $$x+2yy'=0$$ $$y'=-\frac{x}{2y}=-\frac{\sqrt2\cos\theta}{2\sin\theta}$$이다. 따라서 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 $\cfrac{\sqrt2\sin\theta}{\cos\theta}$이고, 점 $A$에서의 법선의 방정식은 $$y-\sin\theta=\cfrac{\sqrt2\sin\theta}{\cos\theta}(x-\sqrt2\cos\theta)$$ $$y=\cfrac{\sqrt2\sin\theta}{\cos\theta}x-\sin\theta$$ $$y\cos\theta=\sqrt2 \sin\theta-\sin\theta\cos\theta\quad \cdots (\star)$$이다.

 

$\sin\theta=0$일 때, 점 $A$에서의 법선의 방정식은 $y=0$이고, $\cos\theta=0$일 때는 $x=0$이므로, 두 경우 모두 $(\star)$식을 만족함을 알 수 있다.

 

우리의 문제를 정리해보면, $D$ 내부의 임의의 점 $P$를 지나고 $(\star)$를 만족하는 직선이 적어도 4개 있음을 즉, 그러한 $\theta$가 적어도 4개 있음을 보이는 것이다.

 

 

먼저 $(\pm\sqrt2,0), (0,\pm1)$ 4점에서의 법선은 모두 $(0,0)$을 지난다. 즉, $D$ 내부의 점 $P$가 원점일 때는 4개의 서로 다른 법선이 존재하므로, 점 $P$가 원점이 아닌 경우에 대해 알아보자.

 

$D$ 내부의 원점이 아닌 점 $P$의 좌표는 $\left(\cfrac{s\cos\alpha}{\sqrt2},s\sin\alpha\right)$ $(0<s<r, 0\leq\alpha<2\pi)$로 나타낼 수 있다. 그러므로 $(\star)$를 만족하는 직선이 점 $P$를 지나는 경우, $$\begin{align}s\sin\alpha\cos\theta&=\sqrt2 \cdot \cfrac{s\cos\alpha}{\sqrt2}\sin\theta-\sin\theta\cos\theta\\0&=s\cos\alpha\sin\theta-s\sin\alpha\cos\theta-\cfrac{\sin2\theta}{2}\\0&=s\sin(\theta-\alpha)-\cfrac{\sin2\theta}{2}\\0&=\cfrac{1}{2}\sin2\theta-\sin(\theta-\alpha)\quad \cdots (\star \star) \end{align}$$가 성립한다. 문제 (1)로 부터 $A=\cfrac{1}{2s}>1$, 즉 $s<\cfrac{1}{2}$이면 위 방정식이 적어도 4 실근을 가진다는 사실이 보장된다. 따라서 $r=\cfrac{1}{2}$이면 $D$ 내부의 모든 점 $P$가 조건을 만족한다.

 

이제 $r=\cfrac{1}{2}$가 조건을 만족하는 $r$의 최댓값임을 보이기 위해서 $r>\cfrac{1}{2}$이면 조건을 만족하지 않음을 보이자. 즉, $r>\cfrac{1}{2}$일 때, 점 $P$를 지나는 $C$의 법선이 3개 이하임을 보이면 된다.

 

$(\star\star)$에서 $s=\cfrac{1}{2}$, $\alpha=\cfrac{\pi}{4}$이면, $$\sin2\theta-\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=0$$ $$2\cos\left(\frac{3}{2}\theta-\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{1}{2}\theta+\frac{\pi}{8}\right)=0$$ 이므로 이를 만족하는 $\theta$는 $0\leq \theta <2\pi$에서 $\theta=\cfrac{7}{4}\pi, \cfrac{5}{12}\pi, \cfrac{13}{12}\pi$의 3개 뿐이다. 이상으로 조건을 만족하는 $r$의 최댓값은 $\cfrac{1}{2}$이다.