교토대 2020-1(문과)

 

 

 

 

 곡선 $C:y=|x|x-3x+1$와 직선 $l:y=x+a$의 그래프가 접하게 되는 음의 실수 $a$의 값을 구하시오.
그리고 이 때, $C$와 $l$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

 

 

 

생각해보기

 

루트가 들어가는 마지막 적분 계산 실수 정도만 하지 않는다면, 무난히 풀 수 있는 문제일 것이다.

 

 

 

 

풀이

 

$x \geq 0$ 일 때, $y=x^2-3x+1=\left(x- \cfrac{3}{2}\right)^2- \cfrac{5}{4}$

 

$x < 0$ 일 때, $y=-x^2-3x+1=-\left(x+ \cfrac{3}{2}\right)^2+ \cfrac{13}{4}$

 

이므로 그래프를 그려보면 아래와 같다. $a$가 음수이기 때문에 $l$이 접하는 함수는 $x \geq 0$일 때의 함수이다.

$y=x^2-3x+1$에서 $y'=2x-3=1$이므로 $x=2$에서 $C$와 $l$이 접한다. 접점의 좌표가 $(2, -1)$이므로 $a=-3$이다.

 

 

 

$C$의 $x<0$인 부분과 $l$의 접점을 먼저 구해보면,

$$-x^2-3x+1=x-3 \qquad x^2+4x-4=0 \qquad x=-2 \pm 2\sqrt2$$

$x<0$에서 $x = -2-2\sqrt2$ 이다.

 

$C$와 $l$ 사이의 넓이를 정적분으로 구하면, 

$$\begin{align} &\int_{-2-2\sqrt2}^0\{(-x^2-3x+1)-(x-3)\}dx+\int_0^2 \{(x^2-3x+1)-(x-3)\}dx\\=&\int_{-2-2\sqrt2}^0(-x^2-4x+4)dx+\int_0^2(x^2-4x+4)dx\\=&\int_{-2-2\sqrt2}^0\{-(x+2)^2+8\}dx+\int_0^2(x-2)^2dx\\=&\left[ \cfrac{(x-2)^3}{3}\right]^2_0 + \left[ -\cfrac{(x+2)^3}{3}+8x\right]^0_{-2-2\sqrt2}\\=&16+\cfrac{32}{3}\sqrt2 \end{align}$$