교토대 2020-2(문과)

 

 

 

 

 

$x$에 대한 2차 함수 중 $y=x^2$과 2점에서 '직교' 하는 함수를 모두 구하시오. 여기서 2차 함수가 직교한다는 말은 두 교점에서의 접선이 직교한다는 의미이다.

 

 

 

 

생각해보기

일반화시키는 문제로 낯설긴하지만, 직교한다는 맥락에서 사용할 수 있는 것은 기울기의 곱이 -1이라는 것 정도 뿐이므로 그 사실을 이용해 차근차근 조건들을 정리해보면 해결할 수 있는 문제이다.

 

 

 

 

풀이

 

$y = ax^2 +bx+c$가 $y=x^2$과 직교한다고 하자.$(a \neq 0)$ 이때, 두 함수의 교점의 $x$좌표를 $\alpha , \beta$라 하자. 즉 $\alpha , \beta$는 $$ax^2 +bx+c=x^2$$의 서로 다른 두 실근이므로, $a \neq 1$이고 $b^2-4(a-1)c>0$이 성립한다.

 

두 교점에서의 접선의 기울기는 $y=x^2$에서는 $2\alpha , 2\beta$이고, $y=ax^2+bx+c$에서는 $2a\alpha +b , 2a\beta + b$이다. 그래프가 직교한다 했으므로 $$2\alpha(2a\alpha +b)=-1$$ $$2\beta(2a\beta +b)=-1$$이 성립한다. 다시말해 그래프가 직교할 때 두 교점 $\alpha , \beta$는 $$2x(2ax+b)=-1$$의 서로 다른 두 실근이 됨을 알 수 있다. 이 식을 변형하면, $$x^2+\cfrac{b}{2a}x+\cfrac{1}{4a}=0$$가 된다. 따라서, $$x^2+\cfrac{b}{2a}x+\cfrac{1}{4a}=(x-\alpha)(x-\beta)=x^2 +\cfrac{b}{2a}x+\cfrac{1}{4a}$$이고 계수를 비교하면 $\cfrac{b}{a-1}=\cfrac{b}{2a}$, $\cfrac{c}{a-1}=\cfrac{1}{4a}$가 성립한다.

 

지금까지 얻어낸 사실들을 정리해보면, $$\begin{align} &a\neq 0,1 \qquad (1)\\&b^2-4(a-1)c>0 \quad (2)  \\&\cfrac{b}{a-1}=\cfrac{b}{2a} \quad (3) \\& \cfrac{c}{a-1}=\cfrac{1}{4a}\quad (4) \end{align}$$

가 성립할 때, 두 이차함수가 직교함을 알 수 있다.

 

먼저 (4)에서 $c=\cfrac{a-1}{4a}$이고, (3)은 $$(a+1)b=0$$로 변형시킬 수 있으므로 $a=-1$일 때와 $b=0$일 때로 나누어 생각해보자.

 

(a) $a=-1$일 때,

 

(4)에 의해 $c=\cfrac{1}{2}$가 된다. 그리고 (2)의 좌변이 $b^2+4$가 되어 $b$에 관계없이 성립한다. 

 

 

(b) $b=0$일 때,

 

(4)에서 $c=\cfrac{a-1}{4a}$이고, (2)의 좌변은 $-\cfrac{(a-1)^2}{a}$이다. 이 값이 양수가 되려면 $a$가 음수이면 충분하다.

 

이상으로 $y=x^2$과 직교하는 2차함수는, 

$$y=-x^2 +bx+\cfrac{1}{2} \quad (\text{$b$는 임의의 실수})$$

또는, 

$$y=ax^2 +\cfrac{a-1}{4a} \quad (\text{$a$는 임의의 음의 실수})$$

이다.