교토대 2020-3(문과)

 

 

 

 

 

홀수 $a$와 정수 $m, n$에 대해, $$f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8$$이 16으로 나누어 떨어지는 정수 쌍 $(m,n)$이 존재하기 위한 $a$의 조건을 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

$a$는 홀수로 $m,n$은 정수로 주어졌으니 제일 먼저 체크할 것은 '$m,n$의 홀짝은 어떻게 될까?' 이다. 16으로 나누어떨어진다는 것을 너무 어렵게 생각하지 않아도 될 것 같다. 단지 2로 3번 나누어도 남은 수는 짝수임이 보장된다는 것이다. (더 어렵게 말했을 수도... ?)

 

 

 

 

풀이

 

$f(m,n)=(m+1)n^2+am^2+8$가 16으로 나누어떨어진다고 가정하자.

 

 

$m$이 홀수이면 $(m+1)n^2+8$은 짝수, $am^2$은 홀수이므로 $f(m,n)$은 홀수가 되고 16으로 나누어떨어질 수 없다.

 

$m$이 짝수이면 $am^2+8$이 짝수이므로 $f(m,n)$이 나누어떨어지기 위해서는 $(m+1)n^2$도 짝수가 되어야한다. 따라서 $n$도 짝수일 수 밖에 없다.

 

 

$m,n$이 모두 짝수이므로 $m=2k$, $n=2l$ ($m,n$은 정수) 로 둘 수 있고 이를 $f(m,n)$에 대입하면,

$$f(m,n)=8kl^2+4ak^2+4l^2+8=4(2kl^2+ak^2+l^2+2)$$

$f(m,n)$이 16으로 나누어떨어지므로, $2kl^2+ak^2+l^2+2$는 4로 나누어 떨어진다. 다시말해, $2kl^2+ak^2+l^2+2$는 짝수이고, $ak^2+l^2$도 짝수이다.

따라서 $k, l$이 모두 짝수인 경우와, 모두 홀수인 경우로 나눌 수 있다.

 

 

 

① $k,l$이 모두 짝수인 경우 

 

$k=2p$, $l=2q$에서

$$f(m,n)=4(16pq^2+4ap^2+4p^2+2)=8(8pq^2+2ap^2+2q^2+1)$$

에서 $8pq^2+2ap^2+2q^2+1$가 홀수가 되어 $f(m,n)$은 16으로 나누어떨어지지 않는다.

 

 

 

② $k, l$이 모두 홀수인 경우

 

$k=2p+1$, $l=2q+1$에서

$$f(m,n)=4\{(4p+3)(4q^2+4q+1)+a(4p^2+4p+1)+2\}$$

에서 $\{(4p+3)(4q^2+4q+1)+a(4p^2+4p+1)+2\}$를 4로 나눈 나머지는 $3+a+2$를 4로 나눈 나머지와 같다. 따라서 $f(m,n)$이 16으로 나누어떨어지려면 $3+a+2$가 4의 배수여야 하고, 이때 $a$는 4로 나눈 나머지가 3인 수이다.

 

 

이상으로 구하는 조건은 $a=4b+3$ ( $b$는 정수) 이고, 이 때 두 정수 $m=4p+2$, $n=4q+2$에 대해 $f(m,n)$은 16의 배수이다.